Для решения этой задачи мы можем использовать распределение вероятностей, называемое распределением Пуассона. В данном случае у нас есть 10 узлов, каждый из которых работает с вероятностью ( p = 0.8 ) и выходит из строя с вероятностью ( q = 1 - p = 0.2 ).
Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4. Это можно сделать, используя биномиальную формулу:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^{k}
]
где:
- ( n ) — общее количество узлов (в нашем случае 10),
- ( k ) — количество узлов, которые вышли из строя (в нашем случае 4),
- ( p ) — вероятность того, что узел не вышел из строя (0.8),
- ( q ) — вероятность того, что узел вышел из строя (0.2),
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, считающийся как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Подставим известные значения в формулу:
[
P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.8)^{10-4} (0.2)^{4}
]
Вначале находим биномиальный коэффициент:
[
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Теперь подставляем все значения в формулу:
[
P(X = 4) = 210 \times (0.8)^{6} \times (0.2)^{4}
]
Считаем ( (0.8)^6 ) и ( (0.2)^4 ):
[
(0.8)^6 = 0.262144, \quad (0.2)^4 = 0.0016
]
Теперь умножаем все вместе:
[
P(X = 4) = 210 \times 0.262144 \times 0.0016 \approx 0.08808
]
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет примерно ( 0.08808 ) или ( 8.81% ).
