прибор состоит из 10 узлов вероятность безотказной работы каждого узла на некоторое время t равна p=0.8 узлы выходят из строя независимо друг от друга найдите вероятность того что…

Для решения этой задачи мы можем использовать распределение вероятностей, называемое распределением Пуассона. В данном случае у нас есть 10 узлов, каждый из которых работает с вероятностью \( p = 0.8 \) и выходит из строя с вероятностью \( q = 1 - p = 0.2 \).

Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4. Это можно сделать, используя биномиальную формулу:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{n-k} q^{k} \]

где:

• \( n \) — общее количество узлов (в нашем случае 10),
• \( k \) — количество узлов, которые вышли из строя (в нашем случае 4),
• \( p \) — вероятность того, что узел не вышел из строя (0.8),
• \( q \) — вероятность того, что узел вышел из строя (0.2),
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, считающийся как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.8)^{10-4} (0.2)^{4} \]

Вначале находим биномиальный коэффициент:

\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Теперь подставляем все значения в формулу:

\[ P(X = 4) = 210 \times (0.8)^{6} \times (0.2)^{4} \]

Считаем \( (0.8)^6 \) и \( (0.2)^4 \):

\[ (0.8)^6 = 0.262144, \quad (0.2)^4 = 0.0016 \]

Теперь умножаем все вместе:

\[ P(X = 4) = 210 \times 0.262144 \times 0.0016 \approx 0.08808 \]

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( 0.08808 \) или \( 8.81\% \).