Чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, начнем с определения таких чисел.
Первый шаг — найти двузначные числа, удовлетворяющие условию. Мы можем записать это так:
x = 13k + 7, где k — целое число.
Теперь необходимо выяснить, какие значения k подходят для двузначных чисел. Двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99.
Начнем с поиска минимального значения k, при котором x будет больше или равно 10:
13k + 7 ≥ 10
13k ≥ 3
k ≥ 3/13
Поскольку k — целое число, минимальное k равно 1.
Теперь найдём максимальное значение k, при котором x остается двузначным:
13k + 7 ≤ 99
13k ≤ 92
k ≤ 92/13
k ≤ 7,0769
Максимальное целое значение k равно 7.
Теперь у нас есть значения k от 1 до 7. Подставим их, чтобы найти соответствующие двузначные числа:
- Для k = 1: x = 13*1 + 7 = 20
- Для k = 2: x = 13*2 + 7 = 33
- Для k = 3: x = 13*3 + 7 = 46
- Для k = 4: x = 13*4 + 7 = 59
- Для k = 5: x = 13*5 + 7 = 72
- Для k = 6: x = 13*6 + 7 = 85
- Для k = 7: x = 13*7 + 7 = 98
Таким образом, двузначные числа, которые при делении на 13 дают в остатке 7, это: 20, 33, 46, 59, 72, 85, 98.
Теперь найдем их сумму:
20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98.
Посчитаем:
20 + 33 = 53,
53 + 46 = 99,
99 + 59 = 158,
158 + 72 = 230,
230 + 85 = 315,
315 + 98 = 413.
Таким образом, сумма всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, равна 413.
