Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, сначала определим длины катетов. Пусть один из катетов равен ( x ). Тогда второй катет будет равен ( 3x ), так как отношения катетов 3:1.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. У нас есть:
[
x^2 + (3x)^2 = 10^2
]
Преобразуем уравнение:
[
x^2 + 9x^2 = 100
]
[
10x^2 = 100
]
[
x^2 = 10
]
[
x = \sqrt{10}
]
Теперь найдём второй катет:
[
3x = 3\sqrt{10}
]
Теперь у нас есть длины катетов: ( x = \sqrt{10} ) см и ( 3x = 3\sqrt{10} ) см.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Где ( a ) и ( b ) — длины катетов. Подставим наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 3\sqrt{10}
]
[
S = \frac{1}{2} \times 3 \times 10
]
[
S = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}^2
]
Таким образом, площадь треугольника равна ( 15 ) см².
