2.Катеты прямоугольного треугольника относится как 3: 1,а гипотенуза равна 10 см. Чему равна площадь треугольника?

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, сначала определим длины катетов. Пусть один из катетов равен \( x \). Тогда второй катет будет равен \( 3x \), так как отношения катетов 3:1.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. У нас есть:

\[ x^2 + (3x)^2 = 10^2 \]

Преобразуем уравнение:

\[ x^2 + 9x^2 = 100 \] \[ 10x^2 = 100 \] \[ x^2 = 10 \] \[ x = \sqrt{10} \]

Теперь найдём второй катет:

\[ 3x = 3\sqrt{10} \]

Теперь у нас есть длины катетов: \( x = \sqrt{10} \) см и \( 3x = 3\sqrt{10} \) см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Где \( a \) и \( b \) — длины катетов. Подставим наши значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times 3\sqrt{10} \] \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 10 \] \[ S = \frac{30}{2} = 15 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника равна \( 15 \) см².