Обозначим через ДЕЛ (п, m) утверждение «натуральное число п делится без остатка на натуральное число т». Для какого наименьшего натурального числа А формула (ДЕЛ(х, А) /\ -ДЕЛ(х, 15)) → (ДЕЛ(х, 18) // ДЕЛ(х, 15)) тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
Чтобы решить задачу, давайте проанализируем условие и логическую формулу. Нам нужно найти такое натуральное число \( A \), при котором выражение
\[
(\text{ДЕЛ}(x, A) \land \neg \text{ДЕЛ}(x, 15)) \rightarrow (\text{ДЕЛ}(x, 18) \lor \text{ДЕЛ}(x, 15))
\]
будет тождественно истинным, т.е. истинным при любых натуральных значениях \( x \).
1. **Рассмотрим выражение**: \( \text{ДЕЛ}(x, A) \land \neg \text{ДЕЛ}(x, 15) \). Это выражение истинно в том случае, если \( x \) делится на \( A \) и не делится на \( 15 \).
2. **Рассмотрим следствие**: \( \text{ДЕЛ}(x, 18) \lor \text{ДЕЛ}(x, 15) \). Это выражение истинно, если \( x \) делится на \( 18 \) или на \( 15 \).
3. **Анализируем возможные случаи**:
- Если \( x \) делится на \( 15 \), тогда \( \neg \text{ДЕЛ}(x, 15) \) станет ложным, и всё выражение слева будет ложным. Это соответствует правилу, что ложное утверждение имплицирует любое утверждение.
- Теперь предположим, что \( x \) не делится на \( 15 \). В этом случае выражение слева будет истинным только если \( x \) делится на \( A \). То есть, нам необходимо, чтобы \( x \), которое делится на \( A \), также делилось на \( 18 \).
Таким образом, если \( x \) делится на \( A \), должно быть истинно, что \( x \) делится на \( 18 \). Это значит, что \( A \) должно быть таким делителем, который "обеспечивает" делимость на \( 18 \) для всех значений \( x \), кроме делящихся на \( 15 \).
4. **Определим делители чисел 18**:
- Делители \( 18 \): \( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \).
5. **Выбираем минимальное \( A \)**:
- Чтобы \( A \) позволяло делить \( x \) на \( 18 \), но не на \( 15 \), например:
- Если мы возьмем \( A = 18 \), \( D(18, 15) = \text{ложно} \).
- Заметим, что минимальное число, которое будет делиться на \( 18 \) и при этом не делиться на \( 15 \), это именно \( 18 \) (т.к. \( 9 \) делится на \( 15 \), но больше \( 18 \) делится на \( 15 \)).
Таким образом, минимальное натуральное число \( A \), для которого данная формула тождественно истинна, это:
\[
\boxed{18}
\]
