Обозначим через ДЕЛ (п, m) утверждение «натуральное число п делится без остатка на натуральное число т». Для какого наименьшего натурального числа А формула (ДЕЛ(х, А) /\ -ДЕЛ(х,…

Чтобы решить задачу, давайте проанализируем условие и логическую формулу. Нам нужно найти такое натуральное число \( A \), при котором выражение

\[ (\text{ДЕЛ}(x, A) \land \neg \text{ДЕЛ}(x, 15)) \rightarrow (\text{ДЕЛ}(x, 18) \lor \text{ДЕЛ}(x, 15)) \]

будет тождественно истинным, т.е. истинным при любых натуральных значениях \( x \).

1. Рассмотрим выражение: \( \text{ДЕЛ}(x, A) \land \neg \text{ДЕЛ}(x, 15) \). Это выражение истинно в том случае, если \( x \) делится на \( A \) и не делится на \( 15 \).

2. Рассмотрим следствие: \( \text{ДЕЛ}(x, 18) \lor \text{ДЕЛ}(x, 15) \). Это выражение истинно, если \( x \) делится на \( 18 \) или на \( 15 \).

3. Анализируем возможные случаи:

   • Если \( x \) делится на \( 15 \), тогда \( \neg \text{ДЕЛ}(x, 15) \) станет ложным, и всё выражение слева будет ложным. Это соответствует правилу, что ложное утверждение имплицирует любое утверждение.

   • Теперь предположим, что \( x \) не делится на \( 15 \). В этом случае выражение слева будет истинным только если \( x \) делится на \( A \). То есть, нам необходимо, чтобы \( x \), которое делится на \( A \), также делилось на \( 18 \).

Таким образом, если \( x \) делится на \( A \), должно быть истинно, что \( x \) делится на \( 18 \). Это значит, что \( A \) должно быть таким делителем, который "обеспечивает" делимость на \( 18 \) для всех значений \( x \), кроме делящихся на \( 15 \).

4. Определим делители чисел 18:

   • Делители \( 18 \): \( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \).

5. Выбираем минимальное \( A \):

   • Чтобы \( A \) позволяло делить \( x \) на \( 18 \), но не на \( 15 \), например:
     • Если мы возьмем \( A = 18 \), \( D(18, 15) = \text{ложно} \).
     • Заметим, что минимальное число, которое будет делиться на \( 18 \) и при этом не делиться на \( 15 \), это именно \( 18 \) (т.к. \( 9 \) делится на \( 15 \), но больше \( 18 \) делится на \( 15 \)).

Таким образом, минимальное натуральное число \( A \), для которого данная формула тождественно истинна, это:

\[ \boxed{18} \]