В треугольнике ABC мы знаем углы A и B, а также длину стороны BC. Нам нужно найти сторону AC.
- Сначала найдем угол C. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Поэтому угол C можно вычислить следующим образом:
[
\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 45° = 75°.
]
- Теперь, чтобы найти сторону AC, можно использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике одинаково для всех сторон:
[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}.
]
- Подставим известные значения. У нас есть:
- ( BC = 5\sqrt{6} ),
- ( \angle A = 60° ),
- ( \angle B = 45° ).
Сначала вычислим синусы углов:
[
\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
]
- Теперь подставим все в формулу:
[
\frac{AC}{\sin(45°)} = \frac{BC}{\sin(60°)},
]
что можно записать как:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
]
- Упрощая правую часть уравнения:
[
\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}}.
]
Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):
[
\frac{10\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{18}}{3} = \frac{10 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2}.
]
- Теперь подставим это в уравнение для AC:
[
\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}.
]
- Умножим обе стороны на (\frac{\sqrt{2}}{2}):
[
AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10.
]
Таким образом, длина стороны AC равна 10.
