в треугольнике АБС угол А = 60°, угол Б = 45°, БС =5√6. Найдите АС
В треугольнике ABC мы знаем углы A и B, а также длину стороны BC. Нам нужно найти сторону AC.
- Сначала найдем угол C. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Поэтому угол C можно вычислить следующим образом:
\[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - 45° = 75°. \]
- Теперь, чтобы найти сторону AC, можно использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике одинаково для всех сторон:
\[ \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}. \]
- Подставим известные значения. У нас есть:
- \( BC = 5\sqrt{6} \),
- \( \angle A = 60° \),
- \( \angle B = 45° \).
Сначала вычислим синусы углов:
\[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
- Теперь подставим все в формулу:
\[ \frac{AC}{\sin(45°)} = \frac{BC}{\sin(60°)}, \]
что можно записать как:
\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
- Упрощая правую часть уравнения:
\[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}}. \]
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):
\[ \frac{10\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{18}}{3} = \frac{10 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2}. \]
- Теперь подставим это в уравнение для AC:
\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2}. \]
- Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10. \]
Таким образом, длина стороны AC равна 10.
