Для решения задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Нам нужно вычислить вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания из 5, когда вероятность успеха (верного ответа) на одно задание составляет ( p = \frac{1}{4} ).
Обозначим:
- ( n = 5 ) (количество задач),
- ( k ) – количество верных ответов,
- ( p = \frac{1}{4} ) (вероятность верного ответа).
В этом случае вероятность того, что Ваня решит верно ровно k заданий, можно вычислить по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) ) – биномиальный коэффициент, равный ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Нам нужно вычислить вероятность того, что Ваня получит 0 или 1 правильный ответ, а затем вычесть это значение из 1.
- Вероятность того, что Ваня решит верно 0 заданий:
[
P(X = 0) = C(5, 0) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \approx 0.2373
]
- Вероятность того, что Ваня решит верно 1 задание:
[
P(X = 1) = C(5, 1) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
[
= 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{81}{256} = \frac{405}{1024} \approx 0.3955
]
Теперь находим общую вероятность того, что Ваня получит 0 или 1 верный ответ:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.2373 + 0.3955 \approx 0.6328
]
Следовательно, вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания (не пойдёт на пересдачу) будет:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.6328 \approx 0.3672
]
Округляем до сотых:
[
\boxed{0.37}
]
