В годовой контрольной работе 5 задач, в каждой из которых 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 задания. Ваня плохо…

Для решения задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Нам нужно вычислить вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания из 5, когда вероятность успеха (верного ответа) на одно задание составляет \( p = \frac{1}{4} \).

Обозначим:

• \( n = 5 \) (количество задач),
• \( k \) – количество верных ответов,
• \( p = \frac{1}{4} \) (вероятность верного ответа).

В этом случае вероятность того, что Ваня решит верно ровно k заданий, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, равный \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Нам нужно вычислить вероятность того, что Ваня получит 0 или 1 правильный ответ, а затем вычесть это значение из 1.

1. Вероятность того, что Ваня решит верно 0 заданий:

\[ P(X = 0) = C(5, 0) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \approx 0.2373 \]

2. Вероятность того, что Ваня решит верно 1 задание:

\[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \] \[ = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{81}{256} = \frac{405}{1024} \approx 0.3955 \]

Теперь находим общую вероятность того, что Ваня получит 0 или 1 верный ответ:

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.2373 + 0.3955 \approx 0.6328 \]

Следовательно, вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания (не пойдёт на пересдачу) будет:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) \approx 1 - 0.6328 \approx 0.3672 \]

Округляем до сотых:

\[ \boxed{0.37} \]