В треугольнике ABC с заданными сторонами AB = 6, BC = 7 и AC = 8 мы можем найти косинус угла ABC с помощью теоремы косинусов. Эта теорема утверждает, что для любого треугольника:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
где ( a ) и ( b ) — длины сторон, образующих угол ( C ), а ( c ) — длина стороны, противолежащей углу ( C ).
В нашем случае:
- ( AB = c = 6 )
- ( AC = b = 8 )
- ( BC = a = 7 )
Подставим значения в формулу для нахождения ( \cos(B) ):
[
6^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(B)
]
Теперь вычислим квадрат сторон:
[
36 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos(B)
]
Подсчитаем сумму:
[
36 = 113 - 112 \cdot \cos(B)
]
Переносим 113 в левую часть уравнения:
[
36 - 113 = -112 \cdot \cos(B)
]
[
-77 = -112 \cdot \cos(B)
]
Теперь делим обе стороны на -112:
[
\cos(B) = \frac{77}{112}
]
Упростим дробь:
[
\cos(B) = \frac{11}{16}
]
Таким образом, косинус угла ABC равен ( \frac{11}{16} ).
