Точка Р удалена 12 см от центра окружности радиуса 15 см. Через точку Р проведена хорда длина 18 см. Найдите отрезки, на которые точка Р делит эту хорду.
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о хордах, которая утверждает, что если точка находится вне окружности и через неё проведена хорда, то расстояние от центра окружности до хорды делит её на два отрезка, которые относятся как расстояние от центра окружности до точки, где перпендикуляр из центра падает на хорду.
Обозначим:
- Радиус окружности \( R = 15 \) см.
- Расстояние от центра окружности до точки \( P \) \( d = 12 \) см.
- Длина хорды \( AB = 18 \) см.
- Перпендикуляр \( OP \) из центра окружности \( O \) до хорды \( AB \) встретит её в точке \( M \).
Находим расстояние \( OM \):
По теореме Пифагора в треугольнике \( OAP \) (где \( A \) — край хорды), имеем: \[ OA^2 = OP^2 + AM^2 \]
Здесь:
- \( OA = R = 15 \) см,
- \( OP = d = 12 \) см,
- \( AM = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см (половина длины хорды).
Подставим значения в уравнение: \[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \] \[ 225 = 144 + 81 \] \[ 225 = 225 \]
Уравнение верно. Таким образом, мы подтверждаем, что \( OM \), перпендикуляр от центра до хорды, делит хорду на отрезки \( AM \) и \( MB \).
Теперь найдем длины отрезков.
Так как хорда делится в точке \( M \), то: \[ AM = MB \]
Поскольку хорда \( AB = 18 \) см, и она делится пополам: \[ AM = MB = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}. \]
Итак, точка \( P \) делит хорду \( AB \) на два отрезка, каждый из которых равен 9 см.
