Давайте разберем задачу по шагам и найдем все требуемые статистические показатели: средний балл, несмещённую оценку генеральной дисперсии, моду и медиану.
Данные
Мы имеем интервалы баллов и количество участников:
- 3-5: 10 участников
- 5-7: 35 участников
- 7-9: 43 участника
- 9-11: 22 участника
- 11-13: 15 участников
- 13-15: 5 участников
1. Средний балл
Для вычисления среднего балла нужно сначала рассчитать средний балл в каждом интервале. Обычно берется midpoint (середина интервала):
- Для 3-5: (3+5)/2 = 4
- Для 5-7: (5+7)/2 = 6
- Для 7-9: (7+9)/2 = 8
- Для 9-11: (9+11)/2 = 10
- Для 11-13: (11+13)/2 = 12
- Для 13-15: (13+15)/2 = 14
Теперь умножим эти значения на количество участников:
[
\text{Средний балл} (X) = \frac{(4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) + (14 \cdot 5)}{10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5}
]
Посчитаем сумму:
[
= \frac{40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70}{130} = \frac{1064}{130} \approx 8.18
]
2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии
Для вычисления несмещённой оценки дисперсии, нужно сначала найти средний квадрат отклонений:
Рассчитаем дисперсии для каждого интервала:
((X - \text{средний балл})^2)
Для каждого интервала:
- 3-5: (10 \cdot (4 - 8.18)^2)
- 5-7: (35 \cdot (6 - 8.18)^2)
- 7-9: (43 \cdot (8 - 8.18)^2)
- 9-11: (22 \cdot (10 - 8.18)^2)
- 11-13: (15 \cdot (12 - 8.18)^2)
- 13-15: (5 \cdot (14 - 8.18)^2)
Теперь посчитаем:
- 3-5: (10 \cdot (−4.18)^2 = 10 \cdot 17.3924 = 173.924)
- 5-7: (35 \cdot (−2.18)^2 = 35 \cdot 4.7524 = 166.354)
- 7-9: (43 \cdot (−0.18)^2 = 43 \cdot 0.0324 = 1.39)
- 9-11: (22 \cdot (1.82)^2 = 22 \cdot 3.3124 = 72.87)
- 11-13: (15 \cdot (3.82)^2 = 15 \cdot 14.5924 = 218.886)
- 13-15: (5 \cdot (5.82)^2 = 5 \cdot 33.8724 = 169.362)
Суммируем все отклонения:
[
\text{Дисперсия} (S^2) = \frac{(173.924 + 166.354 + 1.39 + 72.87 + 218.886 + 169.362)}{130 - 1}
]
Это примерно:
[
= \frac{802.786}{129} \approx 6.22
]
3. Мода
Мода - это интервал с наибольшим числом участников. Судя по данным, интервал 7-9 имеет 43 участника, это и есть мода.
4. Медиана
Для нахождения медианы нужно найти, в середине какого интервала лежит 65-й участник (половина от 130). Если мы суммируем количество участников:
- 3-5: 10 (10)
- 5-7: 35 (45)
- 7-9: 43 (88) — здесь находится 65-й участник!
Таким образом, медиана попадает в интервал 7-9.
Итоговые ответы:
- Средний балл: 8.18
- Несмещённая оценка дисперсии: 6.22
- Мода: 7-9
- Медиана: 7-9
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
