Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 Число участников 10 35 43 22 15 5 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Давайте разберем задачу по шагам и найдем все требуемые статистические показатели: средний балл, несмещённую оценку генеральной дисперсии, моду и медиану.

Данные

Мы имеем интервалы баллов и количество участников:

• 3-5: 10 участников
• 5-7: 35 участников
• 7-9: 43 участника
• 9-11: 22 участника
• 11-13: 15 участников
• 13-15: 5 участников

1. Средний балл

Для вычисления среднего балла нужно сначала рассчитать средний балл в каждом интервале. Обычно берется midpoint (середина интервала):

• Для 3-5: (3+5)/2 = 4
• Для 5-7: (5+7)/2 = 6
• Для 7-9: (7+9)/2 = 8
• Для 9-11: (9+11)/2 = 10
• Для 11-13: (11+13)/2 = 12
• Для 13-15: (13+15)/2 = 14

Теперь умножим эти значения на количество участников:

\[ \text{Средний балл} (X) = \frac{(4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) + (14 \cdot 5)}{10 + 35 + 43 + 22 + 15 + 5} \]

Посчитаем сумму:

\[ = \frac{40 + 210 + 344 + 220 + 180 + 70}{130} = \frac{1064}{130} \approx 8.18 \]

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии

Для вычисления несмещённой оценки дисперсии, нужно сначала найти средний квадрат отклонений:

1. Рассчитаем дисперсии для каждого интервала: \((X - \text{средний балл})^2\)

2. Для каждого интервала:

   • 3-5: \(10 \cdot (4 - 8.18)^2\)
   • 5-7: \(35 \cdot (6 - 8.18)^2\)
   • 7-9: \(43 \cdot (8 - 8.18)^2\)
   • 9-11: \(22 \cdot (10 - 8.18)^2\)
   • 11-13: \(15 \cdot (12 - 8.18)^2\)
   • 13-15: \(5 \cdot (14 - 8.18)^2\)

Теперь посчитаем:

• 3-5: \(10 \cdot (−4.18)^2 = 10 \cdot 17.3924 = 173.924\)
• 5-7: \(35 \cdot (−2.18)^2 = 35 \cdot 4.7524 = 166.354\)
• 7-9: \(43 \cdot (−0.18)^2 = 43 \cdot 0.0324 = 1.39\)
• 9-11: \(22 \cdot (1.82)^2 = 22 \cdot 3.3124 = 72.87\)
• 11-13: \(15 \cdot (3.82)^2 = 15 \cdot 14.5924 = 218.886\)
• 13-15: \(5 \cdot (5.82)^2 = 5 \cdot 33.8724 = 169.362\)

Суммируем все отклонения:

\[ \text{Дисперсия} (S^2) = \frac{(173.924 + 166.354 + 1.39 + 72.87 + 218.886 + 169.362)}{130 - 1} \]

Это примерно:

\[ = \frac{802.786}{129} \approx 6.22 \]

3. Мода

Мода - это интервал с наибольшим числом участников. Судя по данным, интервал 7-9 имеет 43 участника, это и есть мода.

4. Медиана

Для нахождения медианы нужно найти, в середине какого интервала лежит 65-й участник (половина от 130). Если мы суммируем количество участников:

• 3-5: 10 (10)
• 5-7: 35 (45)
• 7-9: 43 (88) — здесь находится 65-й участник!

Таким образом, медиана попадает в интервал 7-9.

Итоговые ответы:

• Средний балл: 8.18
• Несмещённая оценка дисперсии: 6.22
• Мода: 7-9
• Медиана: 7-9

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!