Чтобы найти производную функции ( y = \frac{4 - 3x}{x + 2} ), применим правило дифференцирования дроби, известное как правило Лейбница. Оно гласит, что если у нас есть функция вида ( \frac{u}{v} ), то ее производная вычисляется по формуле:
[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
В нашем случае:
- ( u = 4 - 3x )
- ( v = x + 2 )
Теперь найдем производные ( u' ) и ( v' ):
- ( u' = -3 ) (производная константы 4 равна 0, а производная -3x равна -3)
- ( v' = 1 ) (производная x равна 1, а производная константы 2 равна 0)
Теперь подставим все в формулу:
[
y' = \frac{(-3)(x + 2) - (4 - 3x)(1)}{(x + 2)^2}
]
Упростим числитель:
- Первое слагаемое: (-3(x + 2) = -3x - 6)
- Второе слагаемое: (-(4 - 3x) = -4 + 3x)
Теперь объединим полученные выражения:
[
y' = \frac{-3x - 6 - 4 + 3x}{(x + 2)^2}
]
Простим:
[
y' = \frac{-10}{(x + 2)^2}
]
Таким образом, производная функции ( y = \frac{4 - 3x}{x + 2} ) равна:
[
y' = \frac{-10}{(x + 2)^2}
]
