Решим уравнение:
[
\frac{1}{4}x - 2 + \frac{1}{x} + 1 = 1
]
Сначала упростим его:
[
\frac{1}{4}x - 2 + \frac{1}{x} + 1 - 1 = 0
]
Это будет:
[
\frac{1}{4}x - 2 + \frac{1}{x} = 0
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
\frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - 2 = 0
]
Теперь умножим все на (4x), чтобы избавиться от дробей:
[
x^2 + 4 - 8x = 0
]
Упрощаем:
[
x^2 - 8x + 4 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48
]
Корни уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}
]
Упрощаем (\sqrt{48}):
[
\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}
]
Подставляем это обратно в формулу:
[
x = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}
]
Таким образом, два корня:
- (x_1 = 4 + 2\sqrt{3})
- (x_2 = 4 - 2\sqrt{3})
Так как (2\sqrt{3} \approx 3.464), то:
[
x_2 \approx 4 - 3.464 \approx 0.536
]
Поэтому меньший из корней:
[
x = 4 - 2\sqrt{3}
]
Ответ:
[
x = 4 - 2\sqrt{3}
]
