Вычеслите производную: f(x) =5sin²6x

Чтобы вычислить производную функции \( f(x) = 5 \sin^2(6x) \), мы можем использовать правило цепной производной и правило произведения.

1. Сначала применяем правило производной для функции вида \( u^n \), где \( u = \sin(6x) \) и \( n = 2 \): \[ \frac{d}{dx} [u^n] = n u^{n-1} \frac{du}{dx} \] В нашем случае: \[ \frac{d}{dx} [\sin^2(6x)] = 2 \sin(6x) \frac{d}{dx}[\sin(6x)] \]

2. Теперь вычислим производную \( \sin(6x) \): \[ \frac{d}{dx}[\sin(6x)] = 6 \cos(6x) \]

3. Подставляя это в наше уравнение, получаем: \[ \frac{d}{dx}[\sin^2(6x)] = 2 \sin(6x) \cdot 6 \cos(6x) = 12 \sin(6x) \cos(6x) \]

4. Учитывая, что у нас есть множитель 5 в начале функции, получаем: \[ f'(x) = 5 \cdot 12 \sin(6x) \cos(6x) = 60 \sin(6x) \cos(6x) \]

5. Мы можем также воспользоваться формулой удвоенного угла для синуса: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] В нашем случае: \[ \sin(12x) = 2 \sin(6x) \cos(6x) \] Таким образом: \[ f'(x) = 30 \sin(12x) \]

Итак, окончательная производная функции: \[ f'(x) = 30 \sin(12x) \]