Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, как вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:
[ S = 2 \pi r h, ]
где ( S ) — площадь боковой поверхности, ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота цилиндра.
Теперь применим эту формулу к обоим цилиндрам.
Для первого цилиндра:
- Радиус основания ( r_1 = 15 ).
- Высота ( h_1 ) — это то, что нам нужно найти.
- Площадь боковой поверхности первого цилиндра:
[ S_1 = 2 \pi r_1 h_1 = 2 \pi \cdot 15 \cdot h_1 = 30 \pi h_1. ]
Для второго цилиндра:
- Радиус основания ( r_2 = 21 ) и высота ( h_2 = 20 ).
- Площадь боковой поверхности второго цилиндра:
[ S_2 = 2 \pi r_2 h_2 = 2 \pi \cdot 21 \cdot 20 = 840 \pi. ]
Согласно условию задачи, площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго в 1,5 раза. Таким образом, можем записать уравнение:
[ S_1 = 1,5 S_2. ]
Подставим выражения для площадей:
[ 30 \pi h_1 = 1,5 \cdot 840 \pi. ]
Упрощая это уравнение, можем избавиться от ( \pi ) (так как оно не равно нулю):
[ 30 h_1 = 1,5 \cdot 840. ]
Вычислим правую часть:
[ 1,5 \cdot 840 = 1260. ]
Теперь получаем уравнение:
[ 30 h_1 = 1260. ]
Чтобы найти высоту ( h_1 ), разделим обе стороны на 30:
[ h_1 = \frac{1260}{30} = 42. ]
Таким образом, высота первого цилиндра равна 42 единицам.
