Чтобы найти первую производную функции ( y = \frac{(2x + 1)^2}{\arccos(\sqrt{x})} ), воспользуемся правилом деления для производных. Если у нас есть функция вида ( y = \frac{u}{v} ), то производная будет вычисляться по формуле:
[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
]
В нашем случае:
- ( u = (2x + 1)^2 )
- ( v = \arccos(\sqrt{x}) )
Теперь найдем производную ( u' ) и ( v' ).
- Находим производную ( u' ):
Используем правило цепочки:
[
u = (2x + 1)^2
]
[
u' = 2(2x + 1) \cdot (2) = 4(2x + 1)
]
- Находим производную ( v' ):
Для функции ( v = \arccos(\sqrt{x}) ) также применим правило цепочки:
[
v' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}
]
Теперь подставим значения ( u' ) и ( v' ) в формулу для производной ( y' ):
[
y' = \frac{(4(2x + 1)) \cdot (\arccos(\sqrt{x})) - ((2x + 1)^2) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}\right)}{(\arccos(\sqrt{x}))^2}
]
Упрощаем выражение:
[
y' = \frac{4(2x + 1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) + \frac{(2x + 1)^2}{2\sqrt{x(1 - x)}}}{(\arccos(\sqrt{x}))^2}
]
Таким образом, первая производная функции ( y ) равна
[
y' = \frac{4(2x + 1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) + \frac{(2x + 1)^2}{2\sqrt{x(1 - x)}}}{(\arccos(\sqrt{x}))^2}
]
Если вам нужна дополнительная помощь с производными или другими математическими темами, не стесняйтесь спрашивать!
