Найдите первую производную функции y= ((2x+1) ^2) / (arccos(√x))
Чтобы найти первую производную функции \( y = \frac{(2x + 1)^2}{\arccos(\sqrt{x})} \), воспользуемся правилом деления для производных. Если у нас есть функция вида \( y = \frac{u}{v} \), то производная будет вычисляться по формуле:
\[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
В нашем случае:
- \( u = (2x + 1)^2 \)
- \( v = \arccos(\sqrt{x}) \)
Теперь найдем производную \( u' \) и \( v' \).
- Находим производную \( u' \):
Используем правило цепочки: \[ u = (2x + 1)^2 \] \[ u' = 2(2x + 1) \cdot (2) = 4(2x + 1) \]
- Находим производную \( v' \):
Для функции \( v = \arccos(\sqrt{x}) \) также применим правило цепочки: \[ v' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}} \]
Теперь подставим значения \( u' \) и \( v' \) в формулу для производной \( y' \):
\[ y' = \frac{(4(2x + 1)) \cdot (\arccos(\sqrt{x})) - ((2x + 1)^2) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}\right)}{(\arccos(\sqrt{x}))^2} \]
Упрощаем выражение:
\[ y' = \frac{4(2x + 1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) + \frac{(2x + 1)^2}{2\sqrt{x(1 - x)}}}{(\arccos(\sqrt{x}))^2} \]
Таким образом, первая производная функции \( y \) равна
\[ y' = \frac{4(2x + 1) \cdot \arccos(\sqrt{x}) + \frac{(2x + 1)^2}{2\sqrt{x(1 - x)}}}{(\arccos(\sqrt{x}))^2} \]
Если вам нужна дополнительная помощь с производными или другими математическими темами, не стесняйтесь спрашивать!
