Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность. что стрелку потребуется не более четырех выстрелов.

Для решения задачи можно использовать распределение геометрической вероятности. Стрелок продолжает стрелять до первой удачи, и вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Это означает, что вероятность промаха равна \(q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2\).

Мы хотим найти вероятность того, что стрелку потребуется не более четырех выстрелов для попадания в мишень. Это включает в себя случаи, когда он попадает с первого, второго, третьего или четвертого выстрела.

1. Вероятность того, что стрелок попадет с первого выстрела: \[ P(1) = p = 0,8 \]

2. Вероятность того, что стрелок попадет со второго выстрела (промах с первого выстрела и попадание со второго): \[ P(2) = q \cdot p = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16 \]

3. Вероятность того, что стрелок попадет с третьего выстрела (два промаха подряд и попадание с третьего): \[ P(3) = q^2 \cdot p = (0,2)^2 \cdot 0,8 = 0,04 \cdot 0,8 = 0,032 \]

4. Вероятность того, что стрелок попадет с четвертого выстрела (три промаха подряд и попадание с четвертого): \[ P(4) = q^3 \cdot p = (0,2)^3 \cdot 0,8 = 0,008 \cdot 0,8 = 0,0064 \]

Теперь, чтобы получить общую вероятность того, что стрелку потребуется не более четырех выстрелов, нужно сложить все найденные вероятности:

\[ P(\text{не более 4 выстрелов}) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) \]

Подставляя значения, получаем:

\[ P(\text{не более 4 выстрелов}) = 0,8 + 0,16 + 0,032 + 0,0064 = 0,9984 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелку потребуется не более четырех выстрелов, составляет \(0,9984\) или \(99,84\%\).