Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае у нас есть стрелок, который стреляет в мишень 10 раз, и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет 0.6. Мы хотим найти вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза.
Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]
где:
- ( P(X = k) ) – вероятность того, что событие произойдет ровно k раз,
- ( C(n, k) ) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} ),
- ( n ) – общее число испытаний (в нашем случае 10 выстрелов),
- ( k ) – количество успехов (в нашем случае 3 попадания),
- ( p ) – вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае 0.6),
- ( (1-p) ) – вероятность неуспеха.
Теперь подставим наши значения в формулу.
- Вычислим биномиальный коэффициент ( C(10, 3) ):
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120
]
- Вычислим ( p^k ) и ( (1-p)^{n-k} ):
[
p^k = 0.6^3 = 0.216
]
[
(1-p)^{n-k} = 0.4^{10-3} = 0.4^7 \approx 0.0016384
]
- Теперь подставим все в формулу:
[
P(X = 3) = C(10, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^{7} = 120 \cdot 0.216 \cdot 0.0016384
]
- Вычислим итог:
[
P(X = 3) \approx 120 \cdot 0.216 \cdot 0.0016384 \approx 0.042733
]
Таким образом, вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза из 10 выстрелов, составляет примерно 0.0427 или 4.27%.
