какова вероятность события мишень будет поражена ровно 3 раза если стрелок 10 раз стреляет в мишень с вероятностью попадания 0.6 при каждом отдельном выстреле
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае у нас есть стрелок, который стреляет в мишень 10 раз, и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составляет 0.6. Мы хотим найти вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза.
Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) – вероятность того, что событие произойдет ровно k раз,
- \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \),
- \( n \) – общее число испытаний (в нашем случае 10 выстрелов),
- \( k \) – количество успехов (в нашем случае 3 попадания),
- \( p \) – вероятность успеха в одном испытании (в нашем случае 0.6),
- \( (1-p) \) – вероятность неуспеха.
Теперь подставим наши значения в формулу.
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(10, 3) \):
\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]
- Вычислим \( p^k \) и \( (1-p)^{n-k} \):
\[ p^k = 0.6^3 = 0.216 \] \[ (1-p)^{n-k} = 0.4^{10-3} = 0.4^7 \approx 0.0016384 \]
- Теперь подставим все в формулу:
\[ P(X = 3) = C(10, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^{7} = 120 \cdot 0.216 \cdot 0.0016384 \]
- Вычислим итог:
\[ P(X = 3) \approx 120 \cdot 0.216 \cdot 0.0016384 \approx 0.042733 \]
Таким образом, вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза из 10 выстрелов, составляет примерно 0.0427 или 4.27%.
