интеграл (6*cosx+5/sin^2x+x^13)dx

Решим интеграл \( \int (6 \cos x + \frac{5}{\sin^2 x} + x^{13}) \, dx \).

Мы можем разбить интеграл на три части:

1. \( \int 6 \cos x \, dx \)
2. \( \int \frac{5}{\sin^2 x} \, dx \)
3. \( \int x^{13} \, dx \)

Теперь решим каждый из них по отдельности.

1. Интеграл \( \int 6 \cos x \, dx \): \[ \int 6 \cos x \, dx = 6 \sin x + C_1, \] где \( C_1 \) - произвольная константа.

2. Интеграл \( \int \frac{5}{\sin^2 x} \, dx \): Заметим, что \( \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \), поэтому: \[ \int \frac{5}{\sin^2 x} \, dx = 5 \int \csc^2 x \, dx = 5 (-\cot x) + C_2 = -5 \cot x + C_2, \] где \( C_2 \) - произвольная константа.

3. Интеграл \( \int x^{13} \, dx \): \[ \int x^{13} \, dx = \frac{x^{14}}{14} + C_3, \] где \( C_3 \) - произвольная константа.

Теперь соберем все части вместе: \[ \int (6 \cos x + \frac{5}{\sin^2 x} + x^{13}) \, dx = 6 \sin x - 5 \cot x + \frac{x^{14}}{14} + C, \] где \( C = C_1 + C_2 + C_3 \) - общая произвольная константа интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ: \[ \int (6 \cos x + \frac{5}{\sin^2 x} + x^{13}) \, dx = 6 \sin x - 5 \cot x + \frac{x^{14}}{14} + C. \]