Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 4,5 см, острый угол ромба равен 30 градусам. Найдите периметр ромба

Чтобы найти периметр ромба, в который вписана окружность с радиусом 4,5 см, и острым углом 30 градусов, можем воспользоваться следующими шагами:

1. Радиус вписанной окружности \( r \) ромба связан с его площадью \( S \) и периметром \( P \) следующим образом: \[ S = r \cdot \frac{P}{2} \] Здесь \( P \) — периметр ромба, а \( r \) — радиус вписанной окружности.

2. Площадь ромба можно вычислить по формуле: \[ S = a \cdot h \] где \( a \) — длина стороны ромба, а \( h \) — высота. Высота \( h \) может быть выражена через сторону и угол: \[ h = a \cdot \sin(\phi) \] где \( \phi \) — острый угол ромба.

3. Зная, что острый угол равен 30 градусам, находим высоту: \[ h = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \]

4. Затем подставим значение высоты в формулу для площади: \[ S = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} \]

5. Теперь можем выразить площадь через радиус: \[ S = r \cdot \frac{P}{2} = 4,5 \cdot \frac{4a}{2} = 9a \] Здесь \( P = 4a \), так как периметр ромба равен 4 умножить на длину его стороны.

6. Теперь приравняем два выражения для площади \( S \): \[ \frac{a^2}{2} = 9a \]

7. Упростим уравнение: \[ a^2 - 18a = 0 \] \[ a(a - 18) = 0 \]

8. У нас есть два решения: \( a = 0 \) или \( a = 18 \) см. Поскольку длина стороны не может быть 0, принимаем \( a = 18 \) см.

9. Теперь можем найти периметр: \[ P = 4a = 4 \cdot 18 = 72 \text{ см}. \]

Таким образом, периметр ромба равен 72 см.