Решите уравнение методом замены переменной x − 4 x + 6 + x + 6 x − 4 = 2 1 2 x+6 x−4 + x−4 x+6 =2 2 1 .
Для решения уравнения
\[ \frac{x - 4}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 4} = 2, \]
мы можем использовать метод замены переменной. Назначим
\[ t = \frac{x - 4}{x + 6}. \]
Тогда, при помощи первой части уравнения, можно выразить вторую часть через \( t \):
\[ \frac{x + 6}{x - 4} = \frac{1}{t}. \]
Подставляем это значение в уравнение:
\[ t + \frac{1}{t} = 2. \]
Для умножения обеих сторон уравнения на \( t \) (при условии, что \( t \neq 0 \)), получаем:
\[ t^2 + 1 = 2t. \]
Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду:
\[ t^2 - 2t + 1 = 0. \]
Это уравнение можно упростить:
\[ (t - 1)^2 = 0. \]
Следовательно, у нас есть одно решение:
\[ t = 1. \]
Теперь вспомним, что мы подставили \( t = \frac{x - 4}{x + 6} \). Подставим это значение:
\[ \frac{x - 4}{x + 6} = 1. \]
Умножим обе стороны на \( x + 6 \) (при условии, что \( x + 6 \neq 0 \)):
\[ x - 4 = x + 6. \]
Преобразуем уравнение:
\[ -4 = 6. \]
Это равенство неверно, следовательно, у нас нет таких \( x \), которые удовлетворяют данному уравнению.
Таким образом, уравнение
\[ \frac{x - 4}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 4} = 2 \]
не имеет решений. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
