Для решения уравнения
[
\frac{x - 4}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 4} = 2,
]
мы можем использовать метод замены переменной. Назначим
[
t = \frac{x - 4}{x + 6}.
]
Тогда, при помощи первой части уравнения, можно выразить вторую часть через ( t ):
[
\frac{x + 6}{x - 4} = \frac{1}{t}.
]
Подставляем это значение в уравнение:
[
t + \frac{1}{t} = 2.
]
Для умножения обеих сторон уравнения на ( t ) (при условии, что ( t \neq 0 )), получаем:
[
t^2 + 1 = 2t.
]
Приведем это уравнение к стандартному квадратному виду:
[
t^2 - 2t + 1 = 0.
]
Это уравнение можно упростить:
[
(t - 1)^2 = 0.
]
Следовательно, у нас есть одно решение:
[
t = 1.
]
Теперь вспомним, что мы подставили ( t = \frac{x - 4}{x + 6} ). Подставим это значение:
[
\frac{x - 4}{x + 6} = 1.
]
Умножим обе стороны на ( x + 6 ) (при условии, что ( x + 6 \neq 0 )):
[
x - 4 = x + 6.
]
Преобразуем уравнение:
[
-4 = 6.
]
Это равенство неверно, следовательно, у нас нет таких ( x ), которые удовлетворяют данному уравнению.
Таким образом, уравнение
[
\frac{x - 4}{x + 6} + \frac{x + 6}{x - 4} = 2
]
не имеет решений. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
