В арифметической прогрессии a_{1} = 17 3. Найдите а и сумму первых девяти членов этой прогрессии

Чтобы найти \( a \) и сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, начнем с определения основных элементов прогрессии. 1. **Определение арифметической прогрессии**: Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением постоянной разности \( d \) к предыдущему члену. 2. **Дано**: Первый член \( a_1 = 17 \) и второй член \( a_2 = 3 \). 3. **Нахождение разности \( d \)**: Мы знаем, что \( a_2 = a_1 + d \), тогда: \[ 3 = 17 + d \] Решаем уравнение: \[ d = 3 - 17 = -14 \] Таким образом, разность \( d = -14 \). 4. **Формула n-го члена арифметической прогрессии**: Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] 5. **Вычислим \( a \) (т.е. \( a_3 \))**: Подставим \( n = 3 \): \[ a_3 = 17 + (3-1) \cdot (-14) = 17 + 2 \cdot (-14) = 17 - 28 = -11 \] 6. **Сумма первых n членов арифметической прогрессии**: Формула для суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Для первых девяти членов (\( n = 9 \)): - Сначала найдем \( a_9 \): \[ a_9 = 17 + (9-1) \cdot (-14) = 17 + 8 \cdot (-14) = 17 - 112 = -95 \] - Подставим в формулу суммы: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (17 + (-95)) = \frac{9}{2} \cdot (-78) = \frac{9 \cdot (-78)}{2} = \frac{-702}{2} = -351 \] Таким образом, \( a_3 = -11 \), а сумма первых девяти членов \( S_9 = -351 \).