В арифметической прогрессии a_{1} = 17 3. Найдите а и сумму первых девяти членов этой прогрессии

Чтобы найти \( a \) и сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, начнем с определения основных элементов прогрессии.

1. Определение арифметической прогрессии: Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением постоянной разности \( d \) к предыдущему члену.

2. Дано: Первый член \( a_1 = 17 \) и второй член \( a_2 = 3 \).

3. Нахождение разности \( d \): Мы знаем, что \( a_2 = a_1 + d \), тогда: \[ 3 = 17 + d \] Решаем уравнение: \[ d = 3 - 17 = -14 \] Таким образом, разность \( d = -14 \).

4. Формула n-го члена арифметической прогрессии: Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

5. Вычислим \( a \) (т.е. \( a_3 \)): Подставим \( n = 3 \): \[ a_3 = 17 + (3-1) \cdot (-14) = 17 + 2 \cdot (-14) = 17 - 28 = -11 \]

6. Сумма первых n членов арифметической прогрессии: Формула для суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Для первых девяти членов (\( n = 9 \)):

   • Сначала найдем \( a_9 \): \[ a_9 = 17 + (9-1) \cdot (-14) = 17 + 8 \cdot (-14) = 17 - 112 = -95 \]

   • Подставим в формулу суммы: \[ S_9 = \frac{9}{2} \cdot (17 + (-95)) = \frac{9}{2} \cdot (-78) = \frac{9 \cdot (-78)}{2} = \frac{-702}{2} = -351 \]

Таким образом, \( a_3 = -11 \), а сумма первых девяти членов \( S_9 = -351 \).