Реши

Конечно, давай решим эти задачи!

1. Задание 1: Найдите значение выражения

   Давай посчитаем:

   \[ \sqrt{216} + (\sqrt{81} / \sqrt{27}) \]

   • Сначала найдем корень из 216: \(\sqrt{216} = 6\sqrt{6}\).
   • Корень из 81: \(\sqrt{81} = 9\).
   • Корень из 27: \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
   • Значение \(\sqrt{81} / \sqrt{27} = 9 / (3\sqrt{3}) = 3 / \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} / \sqrt{3} = \sqrt{3}\).

   Итоговое значение: \(6\sqrt{6} + \sqrt{3}\).

2. Задание 2: Найдите значение выражения

   \[ (16 / 9)^{3/2} * (49 / 25)^{1/2} / (8 / 27)^{1/3} \]

   • \((16 / 9)^{3/2} = \left(\sqrt{16 / 9}\right)^3 = (4/3)^3 = 64/27\).
   • \((49 / 25)^{1/2} = \sqrt{49 / 25} = 7/5\).
   • \((8 / 27)^{1/3} = \sqrt[3]{8 / 27} = 2/3\).

   Значение: \( (64/27) \cdot (7/5) / (2/3) = 64/27 \cdot 7/5 \cdot 3/2 = 224/45\).

3. Задание 3: Постройте график функции и исследуйте ее свойства

   f(x) = 3x^3 − 2.

   Это кубическая функция. Она возрастающая, так как коэффициент при \(x^3\) положительный. Ось y пересекается в точке (0, -2).

4. Задание 4: Найдите решения уравнения

   \(128 = 7 * 4^x + 12\).

   • Перепишем: \(116 = 7 \cdot 4^x\).
   • 4^x = 116 / 7 = 16.57 (приблизительно).
   • x = \(\log_4(16.57)\).

   Это требует использования калькулятора для точного значения.

5. Задание 5: Найдите множество решений неравенства

   \(5^x > 125\).

   • 125 = 5^3.
   • x > 3.

6. Задание 6: Упростите выражение, передавая подходящие ограничения для переменных

   \(\log_5(x - 3) - \log_5(2x - 1)\).

   • Это можно записать как \(\log_5\left(\frac{x - 3}{2x - 1}\right)\).

   Ограничения: \(x - 3 > 0\) и \(2x - 1 > 0\).

   • \(x > 3\) и \(x > 0.5\).

   Итог: \(x > 3\).

7. Задание 7: Постройте графики и исследуйте свойства функций

   \(f(x) = \log_2(x + 2) - 1\). \(k(x) = \log_2(x - 3)\).

   • f(x): Определена для \(x > -2\).
   • k(x): Определена для \(x > 3\).

   Это логарифмические функции. f(x) смещена вниз на 1, k(x) начинается от x = 3.

8. Задание 8: Решите логарифмическое уравнение

   \(\log_4(x) = \log_4(x - 1) + \log_4(x - 2)\).

   • Используем свойство: \(\log_4(x) = \log_4((x - 1)(x - 2))\).
   • Значит \(x = (x - 1)(x - 2)\).
   • \(x = x^2 - 3x + 2\).
   • Решаем квадратное уравнение: \(x^2 - 4x + 2 = 0\).

   Это дает корни через дискриминант.

9. Задание 10: Исследуйте функции, укажите ее свойства и постройте график

   \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x - 2\).

   Это кубическая функция. Найди критические точки для анализа возрастающих/убывающих интервалов.

Если нужно подробнее разобрать какое-то задание, дай знать!