Вычислить длины дуг кривых. x= e'(cost +sint), 7. y=e*+6, In-/8 sxsIn-/15. 8. y=e'(cost - sint), Ostsa. 9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры,…

Давайте разберем ваши вопросы по очереди.

1. Вычисление длин дуг кривых

Для вычисления длины дуги кривой, задаваемой параметрически, можно использовать формулу:

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt, \]

где \( x(t) \) и \( y(t) \) - параметры кривой. Применим эту формулу к вашим функциям.

а) Для кривой \( x = e^{\prime}(\cos t + \sin t), y = e +6 \ln(t) - \frac{8}{15} \sin t \)

Нам нужно сначала определить производные:

• \( \frac{dx}{dt} = \text{производная от } e^{\prime}(\cos t + \sin t) \)
• \( \frac{dy}{dt} = \text{производная от } \left( e + 6 \ln(t) - \frac{8}{15} \sin t \right) \)

После нахождения производных подставляем в формулу для длины дуги и интегрируем по заданному интервалу \( [t_1, t_2] \).

б) Для кривой \( y = e^{\prime}(\cos t - \sin t) \)

Опять используем ту же процедуру. Нужно найти \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \), подставить их в формулу длины дуги и выполнить интегрирование.

2. Вычисление объема тела вращения

а) Для области, ограниченной графиками \( x=3y-2, x=1, y=1 \)

Сначала найдите точки пересечения графиков и определите область интегрирования. Затем, для нахождения объема тела, образуемого вращением, можно воспользоваться формулой:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(y)]^2 \, dy, \]

где \( f(y) \) - функция, описывающая границу. В данном случае, уточните, вокруг какой оси выполняется вращение (например, ось X или Y).

б) Для объема тела, ограниченного поверхностями \( x^2 + y^2 = 9, z = y, z = 0 \)

Здесь у нас цилиндр с радиусом 3 (поскольку \( x^2 + y^2 = 9 \)) и верхней частью \( z = y \). Объем можно находить с помощью двойного интеграла:

\[ V = \int \int_{D} z \, dA, \]

где \( D \) - область в плоскости XY, заданная уравнением круга. Нужно привести \( z = y \) в аналитическую форму и интегрировать в пределах круга.

Если у вас есть конкретные значения для интегрирования или дополнительные условия, дайте знать, и мы можем рассмотреть эти детали. Удачи в учёбе!