Чтобы решить уравнение (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 120, начнем с упрощения вопроса, введя новую переменную. Обозначим:
y = x^2 - 5x.
Тогда у нас получится:
(y + 4)(y + 6) = 120.
Раскроем скобки:
y^2 + 10y + 24 = 120.
Теперь переместим все члены на одну сторону уравнения:
y^2 + 10y + 24 - 120 = 0,
что упрощается до:
y^2 + 10y - 96 = 0.
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискримината:
D = b^2 - 4ac,
где a = 1, b = 10 и c = -96. Рассчитаем D:
D = 10^2 - 4 * 1 * (-96) = 100 + 384 = 484.
Теперь найдём корни уравнения, используя формулу:
y = (-b ± √D) / (2a).
Подставим значения:
y = (-10 ± √484) / (2*1) = (-10 ± 22) / 2.
Таким образом, получаем два значения:
- y₁ = (12) / 2 = 6,
- y₂ = (-32) / 2 = -16.
Теперь вернемся к переменной y:
- Если y = 6, то x^2 - 5x = 6, что приводит к уравнению x^2 - 5x - 6 = 0. Оно решается как:
D = 25 + 24 = 49,
x = (5 ± 7) / 2.
Поэтому:
x₁ = 6, x₂ = -1.
- Если y = -16, то x^2 - 5x = -16, что приводит к уравнению x^2 - 5x + 16 = 0. Рассмотрим дискриминант:
D = (-5)^2 - 4 * 1 * 16 = 25 - 64 = -39.
Дискриминант отрицательный, значит, у этого уравнения нет действительных корней.
В итоге, действительные решения данного уравнения:
x₁ = 6 и x₂ = -1.
