Для решения этой задачи используем правила теории вероятностей.
Обозначим события:
- ( A_1 ): кофе закончится в первом автомате.
- ( A_2 ): кофе закончится во втором автомате.
Из условия задачи мы знаем:
- ( P(A_1) = 0,25 )
- ( P(A_2) = 0,25 )
- ( P(A_1 \cap A_2) = 0,15 ) (вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах).
Нам необходимо найти вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах. Это событие можно обозначить как ( A_1' \cap A_2' ), где ( A_1' ) и ( A_2' ) – это события, при которых кофе не закончилось в первом и втором автомате соответственно.
Сначала мы можем найти вероятности событий, что кофе не закончится в каждом автомате:
- ( P(A_1') = 1 - P(A_1) = 1 - 0,25 = 0,75 )
- ( P(A_2') = 1 - P(A_2) = 1 - 0,25 = 0,75 )
Теперь нам необходимо найти вероятность ( P(A_1' \cap A_2') ) (кофе остался в обоих автоматах). Используем формулу для вероятности объединения событий:
[
P(A_1' \cap A_2') = P(A_1') + P(A_2') - P(A_1' \cap A_2)
]
Для нахождения ( P(A_1' \cap A_2) ) используем формулу полной вероятности:
[
P(A_1' \cap A_2) = P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)
]
где ( P(A_2) = 0,25 ) и ( P(A_1 \cap A_2) = 0,15 ):
[
P(A_1' \cap A_2) = 0,25 - 0,15 = 0,10
]
Аналогично, можно найти ( P(A_1 \cap A_2') ):
[
P(A_1 \cap A_2') = P(A_1) - P(A_1 \cap A_2) = 0,25 - 0,15 = 0,10
]
Теперь мы можем вычислить ( P(A_1' \cap A_2') ):
[
P(A_1' \cap A_2') = P(A_1') + P(A_2') - P(A_1')P(A_2')
]
где ( P(A_1')P(A_2') = 0,75 \times 0,75 = 0,5625 ).
Таким образом:
[
P(A_1' \cap A_2') = 0,75 + 0,75 - P(A_1 \cap A_2') - P(A_1' \cap A_2) = 0,75 + 0,75 - 0,10 - 0,10 = 0,35.
]
Следовательно, вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах к вечеру равна:
[
P(A_1' \cap A_2') = 0,35.
]
Ответ: вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,35.
