В прямоугольном треугольнике, если точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см, то обозначим стороны треугольника следующим образом: пусть катеты равны ( a ) и ( b ), а гипотенуза ( c ).
Согласно свойству вписанной окружности, длина отрезков, на которые касательная делит гипотенузу, равна ( (s - a) ) и ( (s - b) ), где ( s ) — полупериметр треугольника, который можно выразить как:
[
s = \frac{a + b + c}{2}
]
Так как гипотенуза делится на отрезки 4 см и 3 см, её длина:
[
c = 4 + 3 = 7 \text{ см}
]
Теперь можем записать уравнения для этих отрезков:
- ( s - a = 4 )
- ( s - b = 3 )
Подставив ( s ) в эти уравнения, получим:
[
s = a + 4 \quad (1)
]
[
s = b + 3 \quad (2)
]
Так как оба выражения равны ( s ), мы можем приравнять их:
[
a + 4 = b + 3
]
Отсюда следует:
[
a = b - 1 \quad (3)
]
Теперь подставим ( s ) из (1) в формулу для ( c ):
[
c = 7 = 2s - (a + b) = 2\left(\frac{a + b + 7}{2}\right) - (a + b)
]
Пользуясь (3), выразим ( b ) через ( a ):
[
c = 2\left(a + 5\right) - (a + (a + 1)) = 2a + 10 - (2a + 1) = 9
]
Необходимо добавить 7 см в этом уравнении, периметр не изменился:
Мы знаем, что ( a ) и ( b ):
- ( a + b = c = 7 )
- ( b = a + 1 )
Теперь подставим в уравнение:
[
a + (a + 1) = 7 \Rightarrow 2a + 1 = 7 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3
]
[
b = a + 1 = 4
]
Теперь мы имеем катеты ( a = 3 \text{ см} ) и ( b = 4 \text{ см} ).
Для нахождения площади прямоугольного треугольника используем формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2.
]
Таким образом, площадь треугольника составляет ( 6 \text{ см}^2 ).
