В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3см.Найдите площадь треугольника
В прямоугольном треугольнике, если точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см, то обозначим стороны треугольника следующим образом: пусть катеты равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза \( c \).
Согласно свойству вписанной окружности, длина отрезков, на которые касательная делит гипотенузу, равна \( (s - a) \) и \( (s - b) \), где \( s \) — полупериметр треугольника, который можно выразить как:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
Так как гипотенуза делится на отрезки 4 см и 3 см, её длина:
\[ c = 4 + 3 = 7 \text{ см} \]
Теперь можем записать уравнения для этих отрезков:
- \( s - a = 4 \)
- \( s - b = 3 \)
Подставив \( s \) в эти уравнения, получим:
\[ s = a + 4 \quad (1) \] \[ s = b + 3 \quad (2) \]
Так как оба выражения равны \( s \), мы можем приравнять их:
\[ a + 4 = b + 3 \]
Отсюда следует:
\[ a = b - 1 \quad (3) \]
Теперь подставим \( s \) из (1) в формулу для \( c \):
\[ c = 7 = 2s - (a + b) = 2\left(\frac{a + b + 7}{2}\right) - (a + b) \]
Пользуясь (3), выразим \( b \) через \( a \):
\[ c = 2\left(a + 5\right) - (a + (a + 1)) = 2a + 10 - (2a + 1) = 9 \]
Необходимо добавить 7 см в этом уравнении, периметр не изменился:
Мы знаем, что \( a \) и \( b \):
- \( a + b = c = 7 \)
- \( b = a + 1 \)
Теперь подставим в уравнение:
\[ a + (a + 1) = 7 \Rightarrow 2a + 1 = 7 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \] \[ b = a + 1 = 4 \]
Теперь мы имеем катеты \( a = 3 \text{ см} \) и \( b = 4 \text{ см} \).
Для нахождения площади прямоугольного треугольника используем формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь треугольника составляет \( 6 \text{ см}^2 \).
