Чтобы найти вектор, перпендикулярный данному вектору ( \mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} ), можно использовать свойство скалярного произведения: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Обозначим искомый вектор как ( \mathbf{b} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} ).
Тогда скалярное произведение (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равно:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(x) + (2)(y) + (-1)(z) = x + 2y - z
]
Чтобы (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) были перпендикулярны, необходимо:
[
x + 2y - z = 0
]
Теперь мы можем выбрать любые (x) и (y), при которых соблюдается это уравнение. Например, если мы возьмём (x = 2) и (y = 1), то подставив эти значения в уравнение:
[
2 + 2 \cdot 1 - z = 0 \implies 2 + 2 - z = 0 \implies z = 4
]
Таким образом, один из возможных перпендикулярных векторов (\mathbf{b}) будет:
[
\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
]
Если подставить (x = 2), (y = 1) и (z = 4) в скалярное произведение, проверим:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 = 2 + 2 - 4 = 0
]
Перепроверяя, вектор (\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) перпендикулярен вектору (\mathbf{a}).
