функция имеет минимум в точке

Чтобы найти минимум функции \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x + 2 \), нужно сначала найти производную и выяснить критические точки.

1. Найдите первую производную: \[ f'(x) = x^2 - 1 \]

2. Найдите критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 - 1 = 0 \\ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

3. Определите, где минимум, взяв вторую производную: \[ f''(x) = 2x \]

   Проверьте знак второй производной в критических точках:

   • Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 2 \times 1 = 2 \quad (\text{положительно}) \] Это указывает на минимум.

   • Для \( x = -1 \): \[ f''(-1) = 2 \times (-1) = -2 \quad (\text{отрицательно}) \] Это указывает на максимум.

Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 1 \).