У Незнайки есть квадрат со стороной 100 клеток, выполненный на клетчатой бумаге. Он вырезал строго по линиям из этого квадрата квадрат со стороной 64 клетки. Оставшейся кусок он…

Сперва найдем площадь исходного квадрата и вырезанного из него.

Площадь исходного квадрата со стороной 100 клеток равна: \[ 100 \times 100 = 10000 \text{ клеток}^2 \]

Площадь вырезанного квадрата со стороной 64 клетки равна: \[ 64 \times 64 = 4096 \text{ клеток}^2 \]

Теперь найдем площадь оставшегося куска: \[ 10000 - 4096 = 5904 \text{ клеток}^2 \]

Следовательно, Незнайка может использовать площадь в 5904 клеток. Теперь выясним, какую сторону будет иметь квадрат, площадь которого равна 5904.

Площадь квадрата определяется формулой: \[ S = a^2 \] где \( a \) — длина стороны квадрата. Мы можем найти \( a \) следующим образом: \[ a^2 = 5904 \] \[ a = \sqrt{5904} \]

Теперь найдем значение \( \sqrt{5904} \): Постараемся разложить число 5904 на множители: \[ 5904 = 2^4 \times 3 \times 7^2 \]

Теперь найдём квадратный корень: \[ \sqrt{5904} = \sqrt{2^4 \times 3 \times 7^2} = 2^2 \times 7 \times \sqrt{3} = 4 \times 7 \times \sqrt{3} = 28 \sqrt{3} \]

Приблизительно: \(\sqrt{3} \approx 1.732\), тогда: \[ a \approx 28 \times 1.732 \approx 48.5 \]

Так как длина стороны квадрата должна быть целым числом, округляем вниз до ближайшего целого: Максимальная целая длина стороны квадрата, который может собрать Незнайка, будет равна \(48\) клеток (поскольку \(49^2 = 2401\) - больше чем 5904).

Таким образом, максимальная сторона нового квадрата, который сможет построить Незнайка, будет равна: 48 клеток.