На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час…
На двух заводах есть по 360 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки для обработки чёрных или цветных металлов. На первом заводе один рабочий за час обрабатывает 0,3 кг чёрных металлов или 0,1 кг цветных металлов. На втором заводе для обработкиx кг чёрных металлов в день требуется x2 человеко-часов труда, а для обработки у; кг цветных металлов в день требуется у2 человеко-часов труда. Владельцу заводов поступил заказ на обработку металлов, причём 1 кг чёрных металлов ценится заказчиком так же, как 1 кг цветных металлов. Какую наибольшую массу обработанных металлов может за сутки суммарно получить заказчик?
Для решения задачи необходимо рассмотреть производительность каждого из заводов и определить, какое количество чёрных и цветных металлов может быть обработано за день.
Первый завод:
- Число рабочих: 360
- Рабочий день: 5 часов
- Производительность одного рабочего:
- Чёрные металлы: 0.3 кг/час
- Цветные металлы: 0.1 кг/час
За 5 часов один рабочий может обработать:
- Чёрные металлы: \( 0.3 \, \text{кг/час} \times 5 \, \text{часов} = 1.5 \, \text{кг} \)
- Цветные металлы: \( 0.1 \, \text{кг/час} \times 5 \, \text{часов} = 0.5 \, \text{кг} \)
На первом заводе за день все рабочие могут обработать:
- Чёрные металлы: \( 360 \, \text{рабочих} \times 1.5 \, \text{кг} = 540 \, \text{кг} \)
- Цветные металлы: \( 360 \, \text{рабочих} \times 0.5 \, \text{кг} = 180 \, \text{кг} \)
Суммарное количество металлов, обрабатываемых на первом заводе:
- \( 540 + 180 = 720 \, \text{кг} \)
Второй завод:
- Число рабочих: 360
- Рабочий день: 5 часов
- Для обработки \( x \) кг чёрных металлов требуется \( x^2 \) человеко-часов.
- Для обработки \( y \) кг цветных металлов требуется \( y^2 \) человеко-часов.
Общее количество человеко-часов доступных на заводе за день:
- \( 360 \, \text{рабочих} \times 5 \, \text{часов} = 1800 \, \text{человеко-часов} \)
Пусть \( x \) кг чёрных металлов и \( y \) кг цветных металлов обрабатываются на втором заводе. Система равненных для труда: \[ x^2 + y^2 \leq 1800 \]
Для максимизации количества обработанных металлов \( x + y \) применим метод Лагранжа или метод максимизации функции при ограничениях. Однако, для данной ситуации проще заметить, что при равенстве \( x = y \) количество металлов при определенных ограничениях будет максимальным.
Подставляя \( x = y \): \[ 2x^2 \leq 1800 \implies x^2 \leq 900 \implies x \leq 30 \]
Таким образом: \[ x = 30, \, y = 30 \implies x + y = 60 \, \text{кг} \]
Теперь рассчитываем общую массу обработанных металлов:
- С первого завода: 720 кг
- Со второго завода: 60 кг
Сумма: \[ 720 + 60 = 780 \, \text{кг} \]
Ответ: Наибольшая масса обработанных металлов за сутки составляет 780 кг.
