Отношение сходственных сторон подобных треугольников M N K MNK и M 1 N 1 K 1 M 1 N 1 K 1 равно 4 : 5 4:5 . Найди площади этих треугольников, если известно, что площадь…
Отношение сходственных сторон подобных треугольников M N K MNK и M 1 N 1 K 1 M 1 N 1 K 1 равно 4 : 5 4:5. Найди площади этих треугольников, если известно, что площадь одного треугольника на 27 27 м 2 2 меньше площади другого.
Пусть площадь треугольника \( \triangle MNK \) равна \( S_1 \), а площадь треугольника \( \triangle M_1N_1K_1 \) равна \( S_2 \).
По условию, отношение сходственных сторон этих треугольников равно \( \frac{4}{5} \). Площадь подобных треугольников пропорциональна квадрату отношения сходственных сторон, то есть:
\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}. \]
Таким образом, можно записать:
\[ S_1 = \frac{16}{25} S_2. \]
Также известно, что один треугольник на \( 27 \) м² меньше площади другого, то есть:
\[ S_2 - S_1 = 27. \]
Теперь, подставим выражение для \( S_1 \) в уравнение:
\[ S_2 - \frac{16}{25} S_2 = 27. \]
Приведем подобные:
\[ S_2 \left(1 - \frac{16}{25}\right) = 27, \]
\[ S_2 \left(\frac{9}{25}\right) = 27. \]
Теперь умножим обе стороны на \(\frac{25}{9}\):
\[ S_2 = 27 \cdot \frac{25}{9} = 75. \]
Теперь найдем площадь \( S_1 \):
\[ S_1 = S_2 - 27 = 75 - 27 = 48. \]
Таким образом, площади треугольников равны:
\[ S_1 = 48 \, \text{м}^2, \quad S_2 = 75 \, \text{м}^2. \]
