- Найдите угольного катеты прямо- треугольника, если известно, что их сумма равна 16 см, а площадь треугольника равна 32 см².

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \). Из условия мы знаем, что:

1. \( a + b = 16 \) (сумма катетов)
2. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2}ab = 32 \)

Из второго уравнения можно выразить произведение катетов:

\[ ab = 32 \times 2 = 64 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 16 \)
2. \( ab = 64 \)

Мы можем выразить \( b \) через \( a \) из первого уравнения:

\[ b = 16 - a \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\[ a(16 - a) = 64 \]

Раскроем скобки:

\[ 16a - a^2 = 64 \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ -a^2 + 16a - 64 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ a^2 - 16a + 64 = 0 \]

Теперь применим формулу discriminant:

\[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0 \]

Так как дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет ровно одно решение:

\[ a = \frac{-b}{2a} = \frac{16}{2} = 8 \]

Теперь можем найти \( b \):

\[ b = 16 - a = 16 - 8 = 8 \]

Таким образом, оба катета равны:

\[ a = b = 8 \text{ см} \]

Ответ: катеты равны 8 см.