Пусть катеты прямоугольного треугольника равны ( a ) и ( b ). Из условия мы знаем, что:
- ( a + b = 16 ) (сумма катетов)
- Площадь треугольника ( S = \frac{1}{2}ab = 32 )
Из второго уравнения можно выразить произведение катетов:
[
ab = 32 \times 2 = 64
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 16 )
- ( ab = 64 )
Мы можем выразить ( b ) через ( a ) из первого уравнения:
[
b = 16 - a
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
a(16 - a) = 64
]
Раскроем скобки:
[
16a - a^2 = 64
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
-a^2 + 16a - 64 = 0
]
Умножим на -1:
[
a^2 - 16a + 64 = 0
]
Теперь применим формулу discriminant:
[
D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0
]
Так как дискриминант равен 0, это означает, что уравнение имеет ровно одно решение:
[
a = \frac{-b}{2a} = \frac{16}{2} = 8
]
Теперь можем найти ( b ):
[
b = 16 - a = 16 - 8 = 8
]
Таким образом, оба катета равны:
[
a = b = 8 \text{ см}
]
Ответ: катеты равны 8 см.
