Решить

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( f(x) = \sin^3 x + \cos^3 x \), следует воспользоваться методом критических точек.

1. Найдите производную функции: \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos x - 3\cos^2 x \sin x \]

2. Упростите производную: \[ f'(x) = 3\sin x \cos x (\sin x - \cos x) \]

3. Найдите критические точки, решая \( f'(x) = 0 \):

   • \( 3\sin x \cos x = 0 \) либо
   • \( \sin x - \cos x = 0 \)

   Решая:

   • \( \sin x = 0 \) при \( x = n\pi \)
   • \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \)
   • \( \sin x = \cos x \) при \( x = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} \)

4. Исследуйте функцию на промежутке:

   • Используем периодичность тригонометрических функций.
   • Найдем значения \( f(x) \) на отрезке \( [0, 2\pi] \) или любом аналогичном отрезке.

Для наибольшего и наименьшего значений функции в точках:

• Подставьте значения из точек, например, \(x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\).

5. Выберите наибольшие и наименьшие значения из полученных.

Пример значений:

• Для \( x = 0 \) или \( 2\pi \), \( f(x) = 0 + 1 = 1 \)
• Для \( x = \frac{\pi}{4} \), \( f(x) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 = 2 \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 \approx 0.707^3 \approx 0.707 \)

Итак, наибольшее значение \( 1 \), наименьшее значение \( 0.707 \).

Ответ: Модуль разности = \( 1 - 0.707 = 0.293 \).