Решить

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( f(x) = \sin^3 x + \cos^3 x \), следует воспользоваться методом критических точек. 1. **Найдите производную функции**: \[ f'(x) = 3\sin^2 x \cos x - 3\cos^2 x \sin x \] 2. **Упростите производную**: \[ f'(x) = 3\sin x \cos x (\sin x - \cos x) \] 3. **Найдите критические точки, решая \( f'(x) = 0 \):** - \( 3\sin x \cos x = 0 \) либо - \( \sin x - \cos x = 0 \) Решая: - \( \sin x = 0 \) при \( x = n\pi \) - \( \cos x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \) - \( \sin x = \cos x \) при \( x = \frac{\pi}{4} + n\frac{\pi}{2} \) 4. **Исследуйте функцию на промежутке**: - Используем периодичность тригонометрических функций. - Найдем значения \( f(x) \) на отрезке \( [0, 2\pi] \) или любом аналогичном отрезке. Для наибольшего и наименьшего значений функции в точках: - Подставьте значения из точек, например, \(x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\). 5. **Выберите наибольшие и наименьшие значения из полученных.** Пример значений: - Для \( x = 0 \) или \( 2\pi \), \( f(x) = 0 + 1 = 1 \) - Для \( x = \frac{\pi}{4} \), \( f(x) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 = 2 \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 \approx 0.707^3 \approx 0.707 \) Итак, наибольшее значение \( 1 \), наименьшее значение \( 0.707 \). **Ответ:** Модуль разности = \( 1 - 0.707 = 0.293 \).