докажите что при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение 4х²+117/8х²-18
Чтобы доказать, что выражение \( \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \) принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях переменной \( x \), нужно проверить, является ли оно константой, то есть не зависит от \( x \).
Упростим выражение:
\[ \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \]
Оценим поведение числителя и знаменателя:
- Числитель: \( 4x^2 + 117 \)
- Знаменатель: \( 8x^2 - 18 \)
Теперь попробуем выразить данное отношение. Для этого можно рассмотреть его предельное значение при \( x \to \infty \):
При \( x \) стремящемся к бесконечности, главные члены (которые имеют наибольший порядок) в числителе и знаменателе определяют поведение всей дроби:
\[ \frac{4x^2}{8x^2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Это говорит о том, что при больших значениях \( x \) выражение стремится к \( \frac{1}{2} \).
Теперь проверим, существует ли какое-либо \( x \), при котором данное выражение может быть равно другой константе. Если подставить разные значения \( x \), то результат всегда будет стабильным и не будет зависеть от этих значений, что указывает на необходимость в проверке различных \( x \) в пределах допустимых значений.
Однако видно, что нет ограничений на \( x \) за исключением того, что знаменатель не должен равняться нулю: \[ 8x^2 - 18 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \Rightarrow x \neq \pm \frac{3}{2} \]
Проанализировав все вышеуказанные шаги, можно заключить, что выражение не меняется в зависимости от конкретных подстановок допустимых значений \( x \), кроме тех значений, где \( 8x^2 - 18 = 0 \).
Таким образом, выражение \( \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \) не принимается как постоянное значение для всех значений \( x \). Однако, если рассматривать его предельное значение при \( x \to \infty \), оно приближается к \( \frac{1}{2} \).
Если нужно рассмотреть конкретные значения или различные значения \( x \), то это также может помочь дальнейшему пониманию зависимости выражения от \( x \).
