Докажите что при всех допустимых значениях переменной выражение принимает одно и то же значение 4х²+117/8х²-18

Чтобы доказать, что выражение \( \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \) принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях переменной \( x \), нужно проверить, является ли оно константой, то есть не зависит от \( x \). 1. Упростим выражение: \[ \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \] 2. Оценим поведение числителя и знаменателя: - Числитель: \( 4x^2 + 117 \) - Знаменатель: \( 8x^2 - 18 \) 3. Теперь попробуем выразить данное отношение. Для этого можно рассмотреть его предельное значение при \( x \to \infty \): При \( x \) стремящемся к бесконечности, главные члены (которые имеют наибольший порядок) в числителе и знаменателе определяют поведение всей дроби: \[ \frac{4x^2}{8x^2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] 4. Это говорит о том, что при больших значениях \( x \) выражение стремится к \( \frac{1}{2} \). 5. Теперь проверим, существует ли какое-либо \( x \), при котором данное выражение может быть равно другой константе. Если подставить разные значения \( x \), то результат всегда будет стабильным и не будет зависеть от этих значений, что указывает на необходимость в проверке различных \( x \) в пределах допустимых значений. 6. Однако видно, что нет ограничений на \( x \) за исключением того, что знаменатель не должен равняться нулю: \[ 8x^2 - 18 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \Rightarrow x \neq \pm \frac{3}{2} \] 7. Проанализировав все вышеуказанные шаги, можно заключить, что выражение не меняется в зависимости от конкретных подстановок допустимых значений \( x \), кроме тех значений, где \( 8x^2 - 18 = 0 \). Таким образом, выражение \( \frac{4x^2 + 117}{8x^2 - 18} \) не принимается как постоянное значение для всех значений \( x \). Однако, если рассматривать его предельное значение при \( x \to \infty \), оно приближается к \( \frac{1}{2} \). Если нужно рассмотреть конкретные значения или различные значения \( x \), то это также может помочь дальнейшему пониманию зависимости выражения от \( x \).