Даны четыре точки на плоскоти xOy: O(0 0) A( 4 0) B( 0 8 ) C( 4 8) вычпслить криволинейный интеграл (3x²-y)dx-(x+2y)dy по ломаной OAC по ломаной OBC по дуге OC параболы y=1/2×x²

Для вычисления криволинейных интегралов по указанным ломаным и дуге, будем вычислять каждый интеграл по отдельности.

1. Интеграл по ломаной OAC

Ломанная OAC состоит из двух отрезков: OD и AC.

Отрезок OA:

• Параметризация: \( x = t \), \( y = 0 \), где \( t \) изменяется от 0 до 4.

Так как \( dy = 0 \), тогда \( dx = dt \).

Подставляем в интеграл:

\[ \int_{O}^{A} (3x^2 - y)dx - (x + 2y)dy = \int_{0}^{4} (3t^2 - 0) dt = \int_{0}^{4} 3t^2 dt \] \[ = \left[ t^3 \right]_{0}^{4} = 4^3 - 0 = 64 \]

Отрезок AC:

• Параметризация: \( x = 4 \), \( y = t \), где \( t \) изменяется от 0 до 8.

Здесь \( dx = 0 \), поэтому

\[ \int_{A}^{C} (3x^2 - y)dx - (x + 2y)dy = -\int_{0}^{8} (4 + 2t) dt = -\left[ 4t + t^2 \right]_{0}^{8} \] \[ = -\left[ 32 + 64 \right] = -96 \]

Таким образом, общий интеграл по ломаной OAC:

\[ \int_{OAC} = 64 - 96 = -32 \]

2. Интеграл по ломаной OBC

Отрезок OB:

• Параметризация: \( x = 0 \), \( y = t \), где \( t \) от 0 до 8.

В этом случае \( dx = 0 \),

\[ \int_{O}^{B} (3x^2 - y)dx - (x + 2y)dy = -\int_{0}^{8} (0 + 2t) dt = -\left[ t^2 \right]_{0}^{8} = -64 \]

Отрезок BC:

• Параметризация: \( x = t \), \( y = 8 \), где \( t \) изменяется от 0 до 4.

Здесь \( dy = 0 \), следовательно

\[ \int_{B}^{C} (3x^2 - y)dx - (x + 2y)dy = \int_{0}^{4} (3t^2 - 8) dt = \left[ t^3 - 8t \right]_{0}^{4} \] \[ = \left[ 64 - 32 \right] = 32 \]

Таким образом, общий интеграл по ломаной OBC:

\[ \int_{OBC} = -64 + 32 = -32 \]

3. Интеграл по дуге OC

Дуга OC — это часть параболы \( y = \frac{1}{2} x^2 \) от \( O(0,0) \) до \( C(4,8) \).

Параметризация: \( x = t \), \( y = \frac{1}{2} t^2 \), где \( t \) изменяется от 0 до 4.

В этом случае \( dy = t dt \).

Теперь подставляем в интеграл:

\[ \int_{O}^{C} (3x^2 - y) dx - (x + 2y) dy = \int_{0}^{4} \left( 3t^2 - \frac{1}{2} t^2 \right) dt - \int_{0}^{4} \left( t + 2 \cdot \frac{1}{2} t^2 \right) t dt \] \[ = \int_{0}^{4} \frac{5}{2} t^2 dt - \int_{0}^{4} (t + t^2) t dt \] \[ = \int_{0}^{4} \frac{5}{2} t^2 dt - \int_{0}^{4} (t^2 + t^3) dt \] \[ = \left[\frac{5}{6} t^3 \right]_{0}^{4} - \left [ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{4} t^4 \right]_{0}^{4} \] \[ = \frac{5}{6} (64) - \left( \frac{1}{3} (64) + \frac{1}{4} (256) \right) \] \[ = \frac{320}{6} - \left( \frac{64}{3} + 64 \right) = \frac{320}{6} - \left( \frac{64 + 192}{3} \right) = \frac{320}{6} - \frac{256}{3} \]

Теперь приведём к общему знаменателю (3):

\[ = \frac{320}{6} - \frac{512}{6} = \frac{-192}{6} = -32 \]

Ответы

• Интеграл по OAC: \(-32\)
• Интеграл по OBC: \(-32\)
• Интеграл по OC: \(-32\)

Таким образом, все три интеграла равны \(-32\).