(а) На доске написано число 2024. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно уменьшить число на доске на 1, 2, 3, 4 или 5, но при этом нельзя получать отрицательное число после своего хода. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? (б) Тот же вопрос, но за ход можно уменьшить число на доске на 1, 2, 3, 4 или 6.

(а) В данной игре, чтобы определить, кто выигрывает при правильной игре, необходимо рассмотреть режимы выигрыша и проигрыша для разных чисел. Рассмотрим некоторые ключевые числа: - Если на доске 0, то проигрывает текущий игрок, так как он не может сделать ход (проигрыша). - Если на доске 1, 2, 3, 4 или 5, то текущий игрок может уменьшить число на доске до 0 и выиграть (выигрыша). - Если на доске 6, текущий игрок может уменьшить количество до 1, 2, 3, 4 или 5, и в любом случае следующий игрок будет в выигрышной позиции (проигрыша). - Таким образом, мы получаем следующую последовательность: - 0 - проигрыш - 1 - выигрыш - 2 - выигрыш - 3 - выигрыш - 4 - выигрыш - 5 - выигрыш - 6 - проигрыш - 7 - выигрыш (можно уменьшить до 2) - 8 - выигрыш (уменьшить до 3) - 9 - выигрыш (уменьшить до 4) - 10 - выигрыш (уменьшить до 5) - 11 - выигрыш (уменьшить до 6) - 12 - проигрыш - 13 - выигрыш (уменьшить до 8) - и так далее. В общем случае, если число на доске $n$, то игрок проигрывает, если $n$ делится на 6 без остатка. Таким образом, для числа 2024: \[ 2024 \mod 6 = 4, \] это не ноль, следовательно Петя может выиграть. (б) В этом варианте игры также рассмотрим случаи: - Мы знаем, что если число на доске 0, то проигрывает текущий игрок. - Если на доске 1, 2, 3, 4, 5, 6, то текущий игрок может уменьшить до 0 и выиграть. - Если на доске 7, то текущий игрок может уменьшить на 1, 2, 3, 4 или 6 (последнее не позволяет попасть в проигрышное положение). Все эти действия приводят к выигрышной позиции (проигрыш). - Если на доске 8, текущий игрок также может уменьшить на 1-5, получая 3, 4, 5, 6 или 2 (выигрыш). - Если на доске 9, то на следующем ходу игрок также может уменьшить до 0 (выигрыш), и так далее. Опять же продолжаем вычислять, видя, что проигрышные позиции будут в числе, которое не может быть уменьшено до выигрышной позиции. Проверяем по аналогии: - Наблюдая за этими значениями, можем заметить что только 0 и 7 остаются проигрышными, так как все другие значения относительно 0 выигрывают. Таким образом, с 2024: \[ 2024 \mod 7 = 0, \] это также проигрышная позиция. Итак, при правильной игре: (a) Выигрывает Петя. (b) Выигрывает Вася.