А) Решите уравнение: cos⁡2x+sin⁡(π/2+x)+1=0. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-5π/2;-π].

Для решения уравнения: \( \cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \) Сначала упростим выражение. Используем формулу синуса: \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\). Тогда уравнение принимает вид: \[ \cos(2x) + \cos(x) + 1 = 0. \] Теперь используем формулу приведения для \(\cos(2x)\): \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\). Подставим это в наше уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) + 1 = 0, \] что упрощается до: \[ 2\cos^2(x) + \cos(x) = 0. \] Вынесем общий фактор: \[ \cos(x)(2\cos(x) + 1) = 0. \] Это означает, что либо: 1. \(\cos(x) = 0\), 2. \(2\cos(x) + 1 = 0\) \(\Rightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2}\). Теперь решим каждое уравнение по отдельности. 1. **Для \(\cos(x) = 0\)**: Корни этого уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] 2. **Для \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)**: Корни этого уравнения: \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Теперь найдем корни в диапазоне \([-5\pi/2, -\pi]\). ### 1. Корни из \(\cos(x) = 0\): Для \(k = -3\): \[ x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}). \] ### 2. Корни из \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\): Для \(k = -3\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -2\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Теперь для \(k = 0\): \[ x = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Для второго корня: Для \(k = -3\): \[ x = \frac{4\pi}{3} - 6\pi = -\frac{14\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -2\): \[ x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = -\frac{8\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \] И для \(k = 0\): \[ x = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}). \] Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-5\pi/2; -\pi]\): \[ -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}. \]