а) Решите уравнение: cos⁡2x+sin⁡(π/2+x)+1=0. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-5π/2;-π].

Для решения уравнения:

\( \cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \)

Сначала упростим выражение. Используем формулу синуса:

\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\).

Тогда уравнение принимает вид:

\[ \cos(2x) + \cos(x) + 1 = 0. \]

Теперь используем формулу приведения для \(\cos(2x)\):

\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Подставим это в наше уравнение:

\[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) + 1 = 0, \]

что упрощается до:

\[ 2\cos^2(x) + \cos(x) = 0. \]

Вынесем общий фактор:

\[ \cos(x)(2\cos(x) + 1) = 0. \]

Это означает, что либо:

1. \(\cos(x) = 0\),
2. \(2\cos(x) + 1 = 0\) \(\Rightarrow \cos(x) = -\frac{1}{2}\).

Теперь решим каждое уравнение по отдельности.

1. Для \(\cos(x) = 0\):

Корни этого уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

2. Для \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\):

Корни этого уравнения:

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Теперь найдем корни в диапазоне \([-5\pi/2, -\pi]\).

1. Корни из \(\cos(x) = 0\):

Для \(k = -3\):

\[ x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -2\):

\[ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -1\):

\[ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \quad (\text{принадлежит отрезку}). \]

2. Корни из \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\):

Для \(k = -3\):

\[ x = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -2\):

\[ x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -1\):

\[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Теперь для \(k = 0\):

\[ x = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Для второго корня:

Для \(k = -3\):

\[ x = \frac{4\pi}{3} - 6\pi = -\frac{14\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -2\):

\[ x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = -\frac{8\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}), \]

Для \(k = -1\):

\[ x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \quad (\text{принадлежит отрезку}), \]

И для \(k = 0\):

\[ x = \frac{4\pi}{3} \quad (\text{не принадлежит отрезку}). \]

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-5\pi/2; -\pi]\):

\[ -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}. \]