найдите второй двучлен разложении на множители квадратного трехчлена: 6x²-16x-64=6(x+4)(...)

Чтобы найти второй двучлен в разложении квадратного трехчлена \(6x^2 - 16x - 64\) на множители, сначала мы можем упростить выражение. Мы уже имеем первый множитель, равный \(6\), и часть второго множителя \((x + 4)\).

Теперь найдем второй двучлен. Вырежем 6 из исходного трехчлена:

\[ 6x^2 - 16x - 64 = 6(x^2 - \frac{16}{6}x - \frac{64}{6}) = 6\left(x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3}\right) \]

Теперь необходимо разложить квадратный трехчлен \(x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3}\) на множители. Мы ищем такие два числа, произведение которых равно \(-\frac{32}{3}\), а сумма равна \(-\frac{8}{3}\).

Решим этот вопрос, найдя корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -\frac{8}{3}\), \(c = -\frac{32}{3}\).

Подставив значения:

\[ x = \frac{-(-\frac{8}{3}) \pm \sqrt{(-\frac{8}{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{32}{3}}}{2 \cdot 1} \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -\frac{32}{3} = \frac{64}{9} + \frac{128}{3} = \frac{64}{9} + \frac{384}{9} = \frac{448}{9} \]

Теперь подставим в формулу корней:

\[ x = \frac{\frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{448}{9}}}{2} \]

\[ \sqrt{\frac{448}{9}} = \frac{\sqrt{448}}{3} = \frac{8\sqrt{7}}{3} \]

Таким образом, корни будут:

\[ x_1 = \frac{\frac{8}{3} + \frac{8\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{8 + 8\sqrt{7}}{6} = \frac{4(1 + \sqrt{7})}{3} \]

\[ x_2 = \frac{\frac{8}{3} - \frac{8\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{8 - 8\sqrt{7}}{6} = \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3} \]

Теперь мы можем выразить второй двучлен как \((x - x_1)(x - x_2)\):

Таким образом, финальное разложение на множители:

\[ 6(x + 4)\left(x - \frac{4(1 + \sqrt{7})}{3}\right)\left(x - \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3}\right) \]

Вы можете выразить второй двучлен в другом виде, но основное разложение на множители будет, как показано.