Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч.
Скорость лодки против течения: ( 12 - v ) км/ч.
Скорость лодки по течению: ( 12 + v ) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, можно найти по формуле:
[
t_1 = \frac{140}{12 - v}
]
Время, затраченное на обратный путь:
[
t_2 = \frac{140}{12 + v}
]
По условию задачи, время на обратный путь на 4 часа меньше:
[
t_1 = t_2 + 4
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{140}{12 - v} = \frac{140}{12 + v} + 4
]
Теперь умножим все на ( (12 - v)(12 + v) ), чтобы избавиться от дробей:
[
140(12 + v) = 140(12 - v) + 4(12 - v)(12 + v)
]
Раскроем скобки:
[
140 \cdot 12 + 140v = 140 \cdot 12 - 140v + 4(144 - v^2)
]
Упростим выражение:
[
140v + 140v = 4(144 - v^2)
]
[
280v = 576 - 4v^2
]
Переносим всё в одну сторону:
[
4v^2 + 280v - 576 = 0
]
Разделим уравнение на 4:
[
v^2 + 70v - 144 = 0
]
Теперь используем формулу решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = 70 ), ( c = -144 ):
[
b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 4900 + 576 = 5476
]
[
\sqrt{5476} = 74
]
Теперь подставим в формулу:
[
v = \frac{-70 \pm 74}{2}
]
Это дает два решения:
[
v_1 = \frac{4}{2} = 2
]
[
v_2 = \frac{-144}{2} = -72 \quad \text{(отрицательная скорость не имеет физического смысла)}
]
Следовательно, скорость течения реки составляет ( 2 ) км/ч.
