Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч. Скорость моторной лодки против течения будет равна ( 12 - v ) км/ч, а со течением – ( 12 + v ) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, может быть вычислено по формуле:
[
t_1 = \frac{140}{12 - v}
]
Время, затраченное на обратный путь по течению, будет:
[
t_2 = \frac{140}{12 + v}
]
Из условия задачи известно, что на обратный путь было затрачено на 4 часа меньше:
[
t_1 - t_2 = 4
]
Подставим значения ( t_1 ) и ( t_2 ) в уравнение:
[
\frac{140}{12 - v} - \frac{140}{12 + v} = 4
]
Умножим обе стороны уравнения на ( (12 - v)(12 + v) ):
[
140(12 + v) - 140(12 - v) = 4(12 - v)(12 + v)
]
Раскроем скобки:
[
140 \cdot 12 + 140v - 140 \cdot 12 + 140v = 4(144 - v^2)
]
Приведем подобные:
[
280v = 576 - 4v^2
]
Перепишем уравнение:
[
4v^2 + 280v - 576 = 0
]
Упростим это уравнение, разделив все коэффициенты на 4:
[
v^2 + 70v - 144 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4(1)(-144) = 4900 + 576 = 5476
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 \pm \sqrt{5476}}{2}
]
Вычислим (\sqrt{5476}):
[
\sqrt{5476} = 74
]
Теперь подставим значение:
[
v = \frac{-70 \pm 74}{2}
]
Это даёт два решения:
- ( v = \frac{4}{2} = 2 )
- ( v = \frac{-144}{2} = -72 ) (отрицательное значение не имеет физического смысла)
Таким образом, скорость течения реки составляет:
[
\boxed{2 \text{ км/ч}}
]
