Рассмотрим систему равенств:
- ( 2pqr + 50pq = N )
- ( 7pqr + 55pr = N )
- ( 8pqr + 12qr = N )
Из этих равенств можем выразить ( N ) через каждую из данных уравнений и приравнять их:
[
2pqr + 50pq = 7pqr + 55pr
]
Сначала упростим это уравнение:
[
2pqr + 50pq - 7pqr - 55pr = 0
]
[
-5pqr + 50pq - 55pr = 0
]
[
5pqr = 50pq - 55pr
]
[
5pqr = 5pq - 11pr
]
[
pqr = pq - \frac{11}{5}pr
]
Теперь упростим второе уравнение с третьим:
[
7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr
]
[
7pqr + 55pr - 8pqr - 12qr = 0
]
[
-pqr + 55pr - 12qr = 0
]
[
pqr = 55pr - 12qr
]
Итак, у нас есть два равенства для ( pqr ):
- ( pqr = pq - \frac{11}{5}pr )
- ( pqr = 55pr - 12qr )
Теперь приравняем оба выражения для ( pqr ):
[
pq - \frac{11}{5}pr = 55pr - 12qr
]
На этом этапе имеет смысл найти значения ( p, q, r ). Запишем ( N ):
( N = 2pqr + 50pq )
Подставим вместо ( pqr ):
[
N = 2(pq - \frac{11}{5}pr) + 50pq
]
[
N = 2pq - \frac{22}{5}pr + 50pq
]
[
N = 52pq - \frac{22}{5}pr
]
Сейчас нужно подставить некоторые простые числа для ( p, q, r ), чтобы найти максимальное ( N ). Пробуем ( p = 3, q = 5, r = 7 ):
[
pqr = 3 \times 5 \times 7 = 105
]
Подставим в ( N ):
[
N = 52 \times 3 \times 5 - \frac{22}{5} \times 3 \times 7
]
[
= 52 \times 15 - \frac{22 \times 21}{5}
]
[
= 780 - \frac{462}{5}
]
Вычислим:
[
\frac{462}{5} = 92.4
]
Итак,
[
N = 780 - 92.4 = 687.6
]
Это не натуральное число. Пробуем другие числа, пока не найдем максимальное ( N ).
После различных попыток:
Пусть ( p = 2, q = 5, r = 11 ):
[
pqr = 110
]
Подставим в ( N ):
[
N = 2 \cdot 110 + 50 \cdot 10
]
[
= 220 + 500 = 720
]
И такие упражнения продолжаются до получения,
выводим:
[
\text{Наибольшее } N = 780 при } (p = 3, q = 5, r = 7)
]
Таким образом, можем сказать, что наибольшее значение N равно 720.
