Различные простые числа р, q,r таковы, что 2pqr + 50pq = 7pqr+ 55pr = 8pqr + 12qr = N для некоторого натурального числа N. Какое наибольшее значение может принимать число N?
Рассмотрим систему равенств:
- \( 2pqr + 50pq = N \)
- \( 7pqr + 55pr = N \)
- \( 8pqr + 12qr = N \)
Из этих равенств можем выразить \( N \) через каждую из данных уравнений и приравнять их:
\[ 2pqr + 50pq = 7pqr + 55pr \] Сначала упростим это уравнение:
\[ 2pqr + 50pq - 7pqr - 55pr = 0 \] \[ -5pqr + 50pq - 55pr = 0 \] \[ 5pqr = 50pq - 55pr \] \[ 5pqr = 5pq - 11pr \] \[ pqr = pq - \frac{11}{5}pr \]
Теперь упростим второе уравнение с третьим:
\[ 7pqr + 55pr = 8pqr + 12qr \] \[ 7pqr + 55pr - 8pqr - 12qr = 0 \] \[ -pqr + 55pr - 12qr = 0 \] \[ pqr = 55pr - 12qr \]
Итак, у нас есть два равенства для \( pqr \):
- \( pqr = pq - \frac{11}{5}pr \)
- \( pqr = 55pr - 12qr \)
Теперь приравняем оба выражения для \( pqr \): \[ pq - \frac{11}{5}pr = 55pr - 12qr \]
На этом этапе имеет смысл найти значения \( p, q, r \). Запишем \( N \):
\( N = 2pqr + 50pq \)
Подставим вместо \( pqr \): \[ N = 2(pq - \frac{11}{5}pr) + 50pq \] \[ N = 2pq - \frac{22}{5}pr + 50pq \] \[ N = 52pq - \frac{22}{5}pr \]
Сейчас нужно подставить некоторые простые числа для \( p, q, r \), чтобы найти максимальное \( N \). Пробуем \( p = 3, q = 5, r = 7 \): \[ pqr = 3 \times 5 \times 7 = 105 \] Подставим в \( N \): \[ N = 52 \times 3 \times 5 - \frac{22}{5} \times 3 \times 7 \] \[ = 52 \times 15 - \frac{22 \times 21}{5} \] \[ = 780 - \frac{462}{5} \] Вычислим: \[ \frac{462}{5} = 92.4 \] Итак, \[ N = 780 - 92.4 = 687.6 \]
Это не натуральное число. Пробуем другие числа, пока не найдем максимальное \( N \).
После различных попыток:
Пусть \( p = 2, q = 5, r = 11 \): \[ pqr = 110 \] Подставим в \( N \): \[ N = 2 \cdot 110 + 50 \cdot 10 \] \[ = 220 + 500 = 720 \]
И такие упражнения продолжаются до получения, выводим: \[ \text{Наибольшее } N = 780 при } (p = 3, q = 5, r = 7) \]
Таким образом, можем сказать, что наибольшее значение N равно 720.
