Сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна 126 , 126, а сумма её первых двадцати пяти членов равна 350. 350. Сколько положительных трёхзначных чисел…

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии — как \( d \).

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \]

Согласно условию, сумма первых 18 членов равна 126:

\[ S_{18} = \frac{18}{2} (2a + 17d) = 126 \]

Упростим это уравнение:

\[ 9(2a + 17d) = 126 \]

Разделим обе стороны на 9:

\[ 2a + 17d = 14 \quad (1) \]

Также согласно условию, сумма первых 25 членов равна 350:

\[ S_{25} = \frac{25}{2} (2a + 24d) = 350 \]

Упростим это уравнение:

\[ 25(2a + 24d) = 700 \]

Разделим обе стороны на 25:

\[ 2a + 24d = 28 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

1. \( 2a + 17d = 14 \)

2. \( 2a + 24d = 28 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ (2a + 24d) - (2a + 17d) = 28 - 14 \]

Это упростится до:

\[ 7d = 14 \implies d = 2 \]

Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1):

\[ 2a + 17 \cdot 2 = 14 \]

Это упрощается до:

\[ 2a + 34 = 14 \implies 2a = 14 - 34 = -20 \implies a = -10 \]

Теперь мы нашли первый член и разность: \( a = -10 \) и \( d = 2 \).

Теперь мы можем записать \( n \)-ый член прогрессии:

\[ a_n = a + (n - 1)d = -10 + (n - 1) \cdot 2 = -10 + 2n - 2 = 2n - 12 \]

Чтобы найти количество положительных трёхзначных чисел в этой прогрессии, найдем, при каких значениях \( n \) член прогрессии будет трёхзначным.

Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Установим два неравенства:

1. \( 2n - 12 \geq 100 \)

\[ 2n \geq 112 \implies n \geq 56 \]

2. \( 2n - 12 \leq 999 \)

\[ 2n \leq 1011 \implies n \leq 505.5 \implies n \leq 505 \]

Таким образом, \( n \) может принимать целые значения от 56 до 505. Найдем количество таких \( n \):

\[ 505 - 56 + 1 = 450 \]

Следовательно, в данной арифметической прогрессии содержится 450 положительных трёхзначных чисел.