Сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна 126 , 126, а сумма её первых двадцати пяти членов равна 350. 350. Сколько положительных трёхзначных чисел содержится в этой прогрессии?

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии — как \( d \). Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \] Согласно условию, сумма первых 18 членов равна 126: \[ S_{18} = \frac{18}{2} (2a + 17d) = 126 \] Упростим это уравнение: \[ 9(2a + 17d) = 126 \] Разделим обе стороны на 9: \[ 2a + 17d = 14 \quad (1) \] Также согласно условию, сумма первых 25 членов равна 350: \[ S_{25} = \frac{25}{2} (2a + 24d) = 350 \] Упростим это уравнение: \[ 25(2a + 24d) = 700 \] Разделим обе стороны на 25: \[ 2a + 24d = 28 \quad (2) \] Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2): 1) \( 2a + 17d = 14 \) 2) \( 2a + 24d = 28 \) Вычтем первое уравнение из второго: \[ (2a + 24d) - (2a + 17d) = 28 - 14 \] Это упростится до: \[ 7d = 14 \implies d = 2 \] Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1): \[ 2a + 17 \cdot 2 = 14 \] Это упрощается до: \[ 2a + 34 = 14 \implies 2a = 14 - 34 = -20 \implies a = -10 \] Теперь мы нашли первый член и разность: \( a = -10 \) и \( d = 2 \). Теперь мы можем записать \( n \)-ый член прогрессии: \[ a_n = a + (n - 1)d = -10 + (n - 1) \cdot 2 = -10 + 2n - 2 = 2n - 12 \] Чтобы найти количество положительных трёхзначных чисел в этой прогрессии, найдем, при каких значениях \( n \) член прогрессии будет трёхзначным. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Установим два неравенства: 1) \( 2n - 12 \geq 100 \) \[ 2n \geq 112 \implies n \geq 56 \] 2) \( 2n - 12 \leq 999 \) \[ 2n \leq 1011 \implies n \leq 505.5 \implies n \leq 505 \] Таким образом, \( n \) может принимать целые значения от 56 до 505. Найдем количество таких \( n \): \[ 505 - 56 + 1 = 450 \] Следовательно, в данной арифметической прогрессии содержится 450 положительных трёхзначных чисел.