Для решения задачи нам нужно сначала определить площадь прямоугольника и соответственно площади фигур, чтобы найти искомую вероятность.
Обозначим стороны прямоугольника длинами ( a ) и ( b ). Площадь прямоугольника будет равна:
[
S_{прям} = a \cdot b
]
a) Вероятность того, что точка принадлежит ромбу
Ромб образован серединами сторон прямоугольника. Середины сторон можно обозначить как ( A, B, C, D ), где:
- ( A ) – середина левой стороны,
- ( B ) – середина верхней стороны,
- ( C ) – середина правой стороны,
- ( D ) – середина нижней стороны.
Координаты точек будут:
- ( A(\frac{0}{2}, \frac{b}{2}) = (0, \frac{b}{2}) )
- ( B(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) = (\frac{a}{2}, b) )
- ( C(\frac{a}{2}, \frac{0}{2}) = (a, \frac{b}{2}) )
- ( D(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0) )
Площадь ромба (в случае, если длины сторон ромба равны) будет равна половине произведения его диагоналей. В данном случае диагонали ( AC ) и ( BD ) равны ( a ) и ( b ).
Площадь ромба:
[
S_{ромб} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит ромбу, будет:
[
P(A) = \frac{S_{ромб}}{S_{прям}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b}{a \cdot b} = \frac{1}{2}
]
b) Вероятность точки, принадлежащей треугольнику
Для треугольника, вершинами которого являются две соседние вершины прямоугольника (например, ( A(0, 0) ) и ( B(0, b) )) и точка пересечения диагоналей (в центре прямоугольника), координаты будут:
- Одна вершина ( A(0, 0) ),
- Вторая вершина ( B(0, b) ),
- Третья вершина ( P(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) ).
Площадь треугольника считается по формуле:
[
S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота
]
В данном случае основанием может служить сторона ( AB ) (длина ( b )), а высота — расстояние от точки ( P ) до прямой, проходящей через ( AB ) (до вертикальной стороны, то есть ( \frac{a}{2} )).
Следовательно, площадь треугольника:
[
S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} = \frac{ab}{4}
]
Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит треугольнику, будет:
[
P(B) = \frac{S_{треуг}}{S_{прям}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}
]
Ответы:
а) Вероятность принадлежности точки ромбу: ( \frac{1}{2} )
б) Вероятность принадлежности точки треугольнику: ( \frac{1}{4} )
