Для решения дифференциального уравнения ( y' = \frac{2x}{3y} ) методом изоклин начнем с нахождения изоклин. Изоклины задаются уравнением вида:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}
]
Изоклины представляют собой линии в пространстве ( (x, y) ), где угловой коэффициент производной ( \frac{dy}{dx} ) постоянен. Применяя тангенс угла, мы можем записать гладкую кривую, где
[
k = \frac{2x}{3y}
]
где ( k ) — это константа, определяющая изоклину. Перепишем вышеуказанное уравнение в следующем виде:
[
3ky = 2x.
]
Можно выразить ( y ) через ( x ):
[
y = \frac{2x}{3k}.
]
Теперь мы можем рассмотреть линию, проходящую через точку ( M(1,1) ). В этой точке следует определить константу ( k ):
[
1 = \frac{2 \cdot 1}{3k} \implies 3k = 2 \implies k = \frac{2}{3}.
]
Таким образом, у нас есть изоклина с ( k = \frac{2}{3} ):
[
y = \frac{2x}{3 \cdot \frac{2}{3}} = x.
]
Теперь у нас есть изоклина ( y = x ). Теперь мы можем подставить ( k ) в уравнение производной, чтобы найти общий вид решений.
Теперь мы можем интегрировать уравнение:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}
]
Умножим обе части на ( 3y ):
[
3y , dy = 2x , dx.
]
Интегрируем обе стороны:
[
\int 3y , dy = \int 2x , dx \implies \frac{3y^2}{2} = x^2 + C,
]
где ( C ) — константа интегрирования. Умножив на ( 2 ), получаем:
[
3y^2 = 4x^2 + C'.
]
Теперь, чтобы найти ( C' ), подставим точку ( M(1, 1) ):
[
3(1)^2 = 4(1)^2 + C' \implies 3 = 4 + C' \implies C' = -1.
]
Таким образом, уравнение интегральной кривой будет:
[
3y^2 = 4x^2 - 1.
]
Или в более удобной форме:
[
y^2 = \frac{4x^2 - 1}{3}.
]
Это уравнение представляет собой интегральную кривую, проходящую через точку ( M(1,1) ).
