Построй график функции y = ( x 2 − 9 ) ( x + 2 ) − x − 2 y= −x−2 (x 2 −9)(x+2) и определи, при каком значении k k прямая y = k x y=kx имеет с графиком функции ровно одну общую…
Построй график функции y = ( x 2 − 9 ) ( x + 2 ) − x − 2 y= −x−2 (x 2 −9)(x+2) и определи, при каком значении k k прямая y = k x y=kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Чтобы построить график функции \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \), сначала упростим её. Мы начнем с раскрытия скобок и упрощения:
Раскроем скобки: \[ (x^2 - 9)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 \]
Теперь подставим это в функцию: \[ y = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 - x - 2 = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]
Теперь у нас есть функция: \[ y = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]
Чтобы найти значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, мы должны решить уравнение: \[ kx = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]
Переносим все в одну сторону: \[ x^3 + 2x^2 - (10 + k)x - 20 = 0 \]
Это кубическое уравнение. Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, этот полином должен иметь ровно один корень. Это происходит, если дискриминант производной полинома равен нулю.
Найдём производную: \[ f(x) = x^3 + 2x^2 - (10 + k)x - 20 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 4x - (10 + k) \]
Чтобы у этого квадратного уравнения был ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot -(10 + k) = 16 + 12(10 + k) = 16 + 120 + 12k = 136 + 12k \] Поставим дискриминант равным нулю: \[ 136 + 12k = 0 \] \[ 12k = -136 \] \[ k = -\frac{136}{12} = -\frac{34}{3} \]
Таким образом, прямая \( y = kx \) будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку при \( k = -\frac{34}{3} \).
