Для уравнения (4x^2 - 12x + 9 = 0) можно применить теорему Виета, которая утверждает, что для квадратного уравнения вида (ax^2 + bx + c = 0) сумма корней (x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}) и произведение корней (x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}).
В нашем уравнении:
- (a = 4)
- (b = -12)
- (c = 9)
Теперь находим сумму и произведение корней:
Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{4} = \frac{12}{4} = 3
]
Произведение корней:
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{4}
]
Теперь у нас есть система уравнений:
[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 3 \
x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4}
\end{cases}
]
Можно выразить (x_2) через (x_1):
[
x_2 = 3 - x_1
]
Подставим это значение в уравнение произведения:
[
x_1(3 - x_1) = \frac{9}{4}
]
Решая это уравнение, получаем:
[
3x_1 - x_1^2 = \frac{9}{4}
]
[
-x_1^2 + 3x_1 - \frac{9}{4} = 0
]
Умножим обе стороны на -4, чтобы избавиться от дробей:
[
4x_1^2 - 12x_1 + 9 = 0
]
Теперь это уравнение совпадает с изначальным. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0
]
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (двойной корень):
[
x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
]
Таким образом, оба корня (x_1) и (x_2) равны:
[
x_1 = x_2 = \frac{3}{2}
]
Ответ: (x_1 = x_2 = \frac{3}{2}).
