найди по теореме виета x1 и x2 : 4х²-12х+9=0
Для уравнения \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) можно применить теорему Виета, которая утверждает, что для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).
В нашем уравнении:
- \(a = 4\)
- \(b = -12\)
- \(c = 9\)
Теперь находим сумму и произведение корней:
Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{4} \]
Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{9}{4} \end{cases} \]
Можно выразить \(x_2\) через \(x_1\): \[ x_2 = 3 - x_1 \]
Подставим это значение в уравнение произведения: \[ x_1(3 - x_1) = \frac{9}{4} \] Решая это уравнение, получаем: \[ 3x_1 - x_1^2 = \frac{9}{4} \] \[ -x_1^2 + 3x_1 - \frac{9}{4} = 0 \] Умножим обе стороны на -4, чтобы избавиться от дробей: \[ 4x_1^2 - 12x_1 + 9 = 0 \]
Теперь это уравнение совпадает с изначальным. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \] Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (двойной корень): \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, оба корня \(x_1\) и \(x_2\) равны: \[ x_1 = x_2 = \frac{3}{2} \]
Ответ: \(x_1 = x_2 = \frac{3}{2}\).
