Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите…

Для решения задачи о вероятности, что команда «Физик» ровно один раз начнёт игру первой из трёх матчей, можно использовать биномиальное распределение.

В условиях задачи:

• Вероятность того, что команда «Физик» начнёт игру первой в одном матче, равна \( p = \frac{1}{2} \).
• Вероятность того, что команда «Физик» не начнёт игру первой, равна \( q = 1 - p = \frac{1}{2} \).
• Количество матчей \( n = 3 \).
• Мы ищем вероятность того, что команда «Физик» начнёт игру первой ровно один раз, то есть \( k = 1 \).

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( n \) — общее число испытаний,
• \( k \) — число успешных испытаний,
• \( p \) — вероятность успеха,
• \( q \) — вероятность неуспеха.

Заполним значения:

1. Посчитаем биномиальный коэффициент \( C(3, 1) \):

\[ C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3 \]

2. Теперь подставим все известные значения в формулу:

\[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot q^{3-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что команда «Физик» ровно один раз начнёт игру первой в трёх матчах, равна \( \frac{3}{8} \).