Если \(k\) - число корней уравнения \(\log _{(x+6)}\left(3 x^{2}+19 x+21\right)=2\), а \(x_{0}\) - его наименьший корень, вычислить значение выражения \(\frac{3 k}{x_{0}}\).…
Если \(k\) - число корней уравнения \(\log _{(x+6)}\left(3 x^{2}+19 x+21\right)=2\), а \(x_{0}\) - его наименьший корень, вычислить значение выражения \(\frac{3 k}{x_{0}}\). Записать ответ: \(\qquad\)
Решим уравнение \(\log_{(x+6)}(3x^2 + 19x + 21) = 2\).
Перепишем уравнение в показательной форме: \[ 3x^2 + 19x + 21 = (x + 6)^2. \]
Теперь разложим правую часть: \[ (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36. \]
Приравняем обе стороны: \[ 3x^2 + 19x + 21 = x^2 + 12x + 36. \]
Переносим все на одну сторону: \[ 3x^2 + 19x + 21 - x^2 - 12x - 36 = 0. \] Упрощаем: \[ 2x^2 + 7x - 15 = 0. \]
Теперь рассмотрим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169. \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Теперь вычислим корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 13}{4}. \]
Вычисляем два корня: \[ x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-20}{4} = -5. \]
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{3}{2}\) и \(x_2 = -5\).
Наименьший корень \(x_0 = -5\).
Количество корней \(k = 2\), так как уравнение имеет два действительных корня.
Теперь найдем значение выражения: \[ \frac{3k}{x_0} = \frac{3 \cdot 2}{-5} = \frac{6}{-5} = -\frac{6}{5}. \]
Таким образом, ответ: \[ \boxed{-\frac{6}{5}}. \]
