В ящике 30 деталей, но известно, что шесть из них со скрытым дефектом. Из ящика случайным образом достают 7 деталей. Во сколько раз вероятность события “выпадет ровно 2 дефектные…
В ящике 30 деталей, но известно, что шесть из них со скрытым дефектом. Из ящика случайным образом достают 7 деталей. Во сколько раз вероятность события “выпадет ровно 2 дефектные детали” больше вероятности события “выпадет ровно , 3 дефектные детали»?
Для того чтобы решить задачу, мы воспользуемся формулой для вычисления вероятности для биномиального распределения. Мы будем использовать формулу комбинаций для вычисления вероятностей.
Обозначим:
- \( N = 30 \) (общее количество деталей),
- \( D = 6 \) (количество дефектных деталей),
- \( N_D = N - D = 30 - 6 = 24 \) (количество нормальных деталей),
- \( k \) - количество выбранных деталей (в нашем случае \( k = 7 \)).
Теперь нам нужно найти вероятность того, что из 7 выбранных деталей будет ровно 2 дефектные и ровно 3 дефектные, и затем сравнить эти два значения.
- Вероятность того, что выпадет ровно 2 дефектные детали:
Количество способов выбрать 2 дефектные детали из 6:
\[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15. \]
Количество способов выбрать 5 нормальных деталей из 24:
\[ C(24, 5) = \frac{24!}{5!(24-5)!} = \frac{24!}{5!19!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 42504. \]
Таким образом, общее количество способов выбрать 2 дефектные и 5 нормальных деталей:
\[ C(6, 2) \cdot C(24, 5) = 15 \cdot 42504 = 637560. \]
Общее количество способов выбрать 7 деталей из 30:
\[ C(30, 7) = \frac{30!}{7!(30-7)!} = \frac{30!}{7!23!} = 2035800. \]
Следовательно, вероятность того, что выпадет ровно 2 дефектные детали:
\[ P(2) = \frac{C(6, 2) \cdot C(24, 5)}{C(30, 7)} = \frac{637560}{2035800} \approx 0.312. \]
- Вероятность того, что выпадет ровно 3 дефектные детали:
Количество способов выбрать 3 дефектные детали из 6:
\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = 20. \]
Количество способов выбрать 4 нормальных детали из 24:
\[ C(24, 4) = \frac{24!}{4!(24-4)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626. \]
Таким образом, общее количество способов выбрать 3 дефектные и 4 нормальные детали:
\[ C(6, 3) \cdot C(24, 4) = 20 \cdot 10626 = 212520. \]
Следовательно, вероятность того, что выпадет ровно 3 дефектные детали:
\[ P(3) = \frac{C(6, 3) \cdot C(24, 4)}{C(30, 7)} = \frac{212520}{2035800} \approx 0.104. \]
- Теперь находим отношение вероятностей:
\[ \frac{P(2)}{P(3)} = \frac{0.312}{0.104} \approx 3. \]
Таким образом, вероятность события "выпадет ровно 2 дефектные детали" больше вероятности события "выпадет ровно 3 дефектные детали" в 3 раза.
