В точках A B C вписана окружность радиуса 3 см которая касается сторон AB BC и Ca в точках PQ и R Найдите площадь треугольника ABC если ab = 5 см bq = 5 см CR 6 см

Для нахождения площади треугольника ABC, когда известны длины отрезков, на которые стороны AB, BC и CA делятся касательными к вписанной окружности, можно использовать формулу:

\[ S = r \cdot p \]

где \( S \) — площадь треугольника, \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( p \) — полупериметр треугольника.

Из условия нам даны следующие данные:

• Радиус вписанной окружности \( r = 3 \) см
• Длины отрезков:
  • \( AB = AP + PB = 5 + bq \)
  • \( BC = bq + CR = 5 + 6 \)
  • \( CA = CR + AP = 6 + ab = 6 + 5 \)

Теперь найдем длины сторон треугольника:

1. Поскольку \( ab = 5 \) см и \( bq = 5 \) см, \( BC = 5 + 6 = 11 \) см.
2. Поскольку \( CR = 6 \) см, \( CA = 6 + 5 = 11 \) см.
3. Затем, найдём сторону \( AB \): \[ AB = AP + PB = 5 + 5 = 10 \text{ см.} \]

Теперь найдём полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 11 + 11}{2} = 16 \text{ см.} \]

Теперь подставим значения \( r \) и \( p \) в формулу для площади:

\[ S = r \cdot p = 3 \cdot 16 = 48 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 48 см².