около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность. Найдите радиус окружности,если:а)AC=8см,BC=6см;б)AC=18см,уголB=10cм
В окружности, описанной около прямоугольного треугольника, радиус \( R \) равен половине длины гипотенузы.
- Для случая (а), где \( AC = 8 \) см и \( BC = 6 \) см:
Сначала найдем длину гипотенузы \( AB \) с помощью теоремы Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Теперь можем найти радиус окружности:
\[ R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]
Ответ: радиус окружности \( R = 5 \) см.
- Для случая (б), где \( AC = 18 \) см и угол \( B = 10^\circ \):
Здесь также необходимо использовать разные свойства треугольника. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности можно найти по формуле:
\[ R = \frac{c}{2} \]
где \( c \) — гипотенуза. Однако для этого нам сначала нужно найти длину \( BC \) и \( AB \).
Используем соотношения в прямоугольном треугольнике. Известно, что:
\[ \tan(B) = \frac{AC}{BC} \]
\( BC \) можно выразить как:
\[ BC = \frac{AC}{\tan(B)} = \frac{18}{\tan(10^\circ)} \]
Подставим \( \tan(10^\circ) \):
\[ \approx \tan(10^\circ) \approx 0.1763 \] \[ BC \approx \frac{18}{0.1763} \approx 102.07 \text{ см} \]
Теперь найдем длину гипотенузы \( AB \):
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + (102.07)^2} \]
\[ = \sqrt{324 + 10422.84} \approx \sqrt{10746.84} \approx 103.67 \text{ см} \]
Теперь можем найти радиус:
\[ R = \frac{AB}{2} \approx \frac{103.67}{2} \approx 51.84 \text{ см} \]
Ответ: радиус окружности примерно \( R \approx 51.84 \) см.
