В окружности, описанной около прямоугольного треугольника, радиус ( R ) равен половине длины гипотенузы.
- Для случая (а), где ( AC = 8 ) см и ( BC = 6 ) см:
Сначала найдем длину гипотенузы ( AB ) с помощью теоремы Пифагора:
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
Теперь можем найти радиус окружности:
[
R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}
]
Ответ: радиус окружности ( R = 5 ) см.
- Для случая (б), где ( AC = 18 ) см и угол ( B = 10^\circ ):
Здесь также необходимо использовать разные свойства треугольника. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности можно найти по формуле:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — гипотенуза. Однако для этого нам сначала нужно найти длину ( BC ) и ( AB ).
Используем соотношения в прямоугольном треугольнике. Известно, что:
[
\tan(B) = \frac{AC}{BC}
]
( BC ) можно выразить как:
[
BC = \frac{AC}{\tan(B)} = \frac{18}{\tan(10^\circ)}
]
Подставим ( \tan(10^\circ) ):
[
\approx \tan(10^\circ) \approx 0.1763
]
[
BC \approx \frac{18}{0.1763} \approx 102.07 \text{ см}
]
Теперь найдем длину гипотенузы ( AB ):
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + (102.07)^2}
]
[
= \sqrt{324 + 10422.84} \approx \sqrt{10746.84} \approx 103.67 \text{ см}
]
Теперь можем найти радиус:
[
R = \frac{AB}{2} \approx \frac{103.67}{2} \approx 51.84 \text{ см}
]
Ответ: радиус окружности примерно ( R \approx 51.84 ) см.
